[2022CCCC天梯赛] L3-1 千手观音（30分）

题目描述

人类喜欢用 10 进制，大概是因为人类有一双手 10 根手指用于计数。于是在千手观音的世界里，数字都是 10 000 进制的，因为每位观音有 1 000 双手 ……

千手观音们的每一根手指都对应一个符号（但是观音世界里的符号太难画了，我们暂且用小写英文字母串来代表），就好像人类用自己的 10 根手指对应 0 到 9 这 10 个数字。同样的，就像人类把这 10 个数字排列起来表示更大的数字一样，ta们也把这些名字排列起来表示更大的数字，并且也遵循左边高位右边低位的规则，相邻名字间用一个点 . 分隔，例如 pat.pta.cn 表示千手观音世界里的一个 3 位数。

人类不知道这些符号代表的数字的大小。不过幸运的是，人类发现了千手观音们留下的一串数字，并且有理由相信，这串数字是从小到大有序的！于是你的任务来了：请你根据这串有序的数字，推导出千手观音每只手代表的符号的相对顺序。

注意：有可能无法根据这串数字得到全部的顺序，你只要尽量推出能得到的结果就好了。当若干根手指之间的相对顺序无法确定时，就暂且按它们的英文字典序升序排列。例如给定下面几个数字：

pat
cn
lao.cn
lao.oms
pta.lao
pta.pat
cn.pat

我们首先可以根据前两个数字推断 pat < cn；根据左边高位的顺序可以推断 lao < pta < cn；再根据高位相等时低位的顺序，可以推断出 cn < oms，lao < pat。综上我们得到两种可能的顺序：lao < pat < pta < cn < oms；或者 lao < pta < pat < cn < oms，即 pat 和 pta 之间的相对顺序无法确定，这时我们按字典序排列，得到 lao < pat < pta < cn < oms。

输入格式：

输入第一行给出一个正整数 N (≤10^5)，为千手观音留下的数字的个数。随后 N 行，每行给出一个千手观音留下的数字，不超过 10 位数，每一位的符号用不超过 3 个小写英文字母表示，相邻两符号之间用 . 分隔。

我们假设给出的数字顺序在千手观音的世界里是严格递增的。题目保证数字是 10^4 进制的，即符号的种类肯定不超过 10^4 种。

输出格式：

在一行中按大小递增序输出符号。当若干根手指之间的相对顺序无法确定时，按它们的英文字典序升序排列。符号间仍然用 . 分隔。

输入样例：

7
pat
cn
lao.cn
lao.oms
pta.lao
pta.pat
cn.pat

输出样例：

lao.pat.pta.cn.oms

思路

优先队列 + 拓扑排序

这是一类经典问题：已知若干组大小关系\(a_i<a_j\)、\(a_k>a_l\)、\(a_p=a_q\)，要求构造数列\(a\)，满足所有给定关系。

这类问题是差分约束系统的简化版：所有边的边权为1或0。若存在相等关系，可以用并查集或Tarjan算法，将所有相等关系缩点。最终均可转化为DAG，拓扑排序即可确定一组最小解（有环则无解）。

本题也是类似的，给出的大小关系为：若\(A<B\)，则\(A\)和\(B\)从高到低的第一位不相等数位\(i\)，满足\(A[i]<B[i]\)，连有向边<A[i], B[i]>，最后拓扑排序即可。由于题目是按递增顺序给出的，因此对每个给出的数只需与前一个数连边。

本题中，每一位的数据类型是字符串，可以用unordered_map或者map将其离散化为整数再排序。

本题难点在于，当相对顺序无法确定时，按字典序排序。我最初的思路是拓扑排序后分别按层数、字典序为第一、二关键字排序，以及不连通情况下再次排序等，这些做法都是不对的，反例如下：

相对顺序无法确定，根据字典序，最后答案可以是(A.F.B.D.C.G.E)。

30pts正解：将拓扑排序的队列改为优先队列即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5, M = 2e6 + 5;
int etot, head[N], ver[M], nxt[M];
void add(int u, int v) {
	ver[++etot] = v;
	nxt[etot] = head[u];
	head[u] = etot;
}
unordered_map<string, int> ID;
unordered_map<int, string> findbyID;
int n, strtot;
int ind[N];
typedef pair<string, int> node;
vector<string> ans;
int main() {
	scanf("%d", &n);
	vector<string> pre, now;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		string str;
		cin >> str;
		for(int p = 0; p < str.size(); ++p) {
			string nows;
			while(p < str.size() && str[p] != '.') nows += str[p++];
			if(ID.find(nows) == ID.end()) {
				ID[nows] = ++strtot;
				findbyID[strtot] = nows;
			}
			now.emplace_back(nows);
		}
		if(pre.size() == now.size()) {
			int p = 0;
			while(pre[p] == now[p]) ++p;
			add(ID[pre[p]], ID[now[p]]);
			++ind[ID[now[p]]];
		}
		pre.swap(now);
		now.clear();
	}
	priority_queue<node, vector<node>, greater<node>> q;
	for(auto& [str, id] : ID) {
		if(!ind[id]) q.emplace(str, id);
	}
	while(!q.empty()) {
		ans.emplace_back(q.top().first);
		int u = q.top().second;
		q.pop();
		for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
			int v = ver[i];
			--ind[v];
			if(!ind[v]) q.emplace(findbyID[v], v);
		}
	}
	cout << ans[0];
	for(int i = 1; i < ans.size(); ++i) cout << "." << ans[i];
	return 0;
}