哈夫曼编码（\(Huffman\) \(Coding\)）原理详解
一、哈夫曼编码简介
哈夫曼编码，又称为霍夫曼编码（\(Huffman\) \(Coding\)）
是一种可变长编码(\(VLC\), \(variable\) \(length\) \(coding\))方式，比起定长编码的 \(ASCII\) 编码来说，哈夫曼编码能节省很多的空间，因为每一个字符出现的频率不是一致的；
是一种用于无损数据压缩的熵编码算法，通常用于压缩重复率比较高的字符数据。
如果我们通过转换成\(ASCII\)码对应的二进制数据将字符串 \(BCAADDDCCACACAC\) 通过二进制编码进行传输，那么一个字符传输的二进制位数为 \(8bits\)，那么总共需要 \(120\) 个二进制位；而如果使用哈夫曼编码，该串字符可压缩至\(28\)位。
二、哈夫曼编码方法
哈夫曼编码首先会使用字符的频率创建一棵树，然后通过这个树的结构为每个字符生成一个特定的编码，出现频率高的字符使用较短的编码，出现频率低的则使用较长的编码，这样就会使编码之后的字符串平均长度降低，从而达到数据无损压缩的目的。
1. 计算字符串中每个字符的频率：
2. 按照字符出现的频率进行排序，组成一个队列 \(Q\)
出现频率最低的在前面，出现频率高的在后面。
3. 把这些字符作为叶子节点开始构建一颗哈夫曼树
哈夫曼树又称为最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。
- 首先创建一个空节点 \(z\)，将最小频率的字符分配给 \(z\) 的左侧，并将频率排在第二位的分配给 \(z\) 的右侧，然后将 \(z\) 赋值为两个字符频率的和；然后从队列 \(Q\) 中删除 \(B\) 和 \(D\)，并将它们的和添加到队列中，上图中 \(*\) 表示的位置。
- 紧接着，重新创建一个空的节点 \(z\)，并将 \(4\) 作为左侧的节点，频率为 \(5\) 的 \(A\) 作为右侧的节点，\(4\) 与 \(5\) 的和作为父节点，并把这个和按序加入到队列中，再根据频率从小到大构建树结构（小的在左）。
- 继续按照之前的思路构建树，直到所有的字符都出现在树的节点中，哈夫曼树构建完成。
节点的带权路径长度:为从根节点到该节点的路径长度与节点权值的乘积。
该二叉树的带权路径长度 \(WPL = 6 * 1 + 5 * 2 + 3 * 3 + 1 * 3 = 28\)
-
- 对字符进行编码
哈夫曼树构建完成，下面我们要对各个字母进行编码，
编码原则：对于每个非叶子节点，将 \(0\) 分配给连接线的左侧，\(1\) 分配给连接线的右侧，最终得到字符的编码就是从根节点开始，到该节点的路径上的 \(01\) 序列组合。
因此各个字母的编码分别为：
| \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(D\) |
|---|---|---|---|
| \(11\) | \(100\) | \(0\) | \(101\) |
在没有经过哈夫曼编码之前，字符串\(\large BCAADDDCCACACAC\)的二进制为：
10000100100001101000001010000010100010001000100010001000100001101000011010000010100001101000001010000110100000101000011
也就是占了 \(120\) 比特；
编码之后为：
1000111110110110100110110110
占了 \(28\) 比特。
5. 确定发送的数据
哈夫曼编码将发送字符串的数据长度极大压缩，考虑到接收方的编码，还需要把哈夫曼树的结构也传递过去。
即字符占用的 \(32\) 比特和 频率占用的 \(15\) 比特也需要传递过去。
总体上，编码后比特数为\(32 + 15 + 28 = 75\)，比 \(120\) 比特少了 \(45\) 个，效率还是非常高的。
注：之所以把字符和频率再发过去，对方就知道\(A:11\),\(B:1001\)...,以此来对\(ABCD\)进行相应的解码工作。
根据原文进行验证吧：
\[\large BCAADDDCCACACAC \]从本质上讲，哈夫曼编码是将最宝贵的资源（最短的编码）给出现概率最多的数据。
在上面的例子中，\(C\) 出现的频率最高，它的编码为 \(0\)，就省下了不少空间。
三、特点
哈夫曼编码有三个特点：
- 带权路径长度\(WPL\)最短且唯一
- 编码互不为前缀（一个编码不是另一个编码的开头）
- 哈夫曼树和编码都不唯一
\(Q\):为什么通过哈夫曼编码后得到的二进制码不会有前缀的问题呢？
这是因为在哈夫曼树中，每个字母对应的节点都是叶子节点，而他们对应的二进制码是由根节点到各自节点的路径所决定的，正因为是叶子节点，每个节点的路径不可能和其他节点有前缀的关系。
\(Q2\):为什么通过哈夫曼编码获得的二进制码短呢？
因为哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的节点离根节点较近。而带权路径长度是指：树中所有的叶子节点的权值乘上其到根节点的路径长度，这与最终的哈夫曼编码总长度成正比关系的。