无限集分为可数无限集和不可数无限集。可数集例如：自然数集、有理数集、证书集；不可数集例如：实数集。
无限集比大小方法：如果两个无限集A、B的元素之间存在一一对应关系，则认为A和B两个集合一样大。
Q1：自然数和偶数一样多（奇数同理）
对于任意自然数ak，令a0=0，b0=0，a1=1,都有偶数bk=(-1)kak+k%2与之一一对应。
对于任意自然数ak，令a0=0，b0=0，a1=1,都有奇数bk=(-1)kak+k%2-1与之一一对应。
Q2：自然数和整数一样多
对于任意自然数ak，令a0=0，b0=0，a1=1,都有偶数bk=[(-1)kak+k%2]/2与之一一对应。
Q3：自然数和有理数一样多
将有理数表示为m/n，m和n都是整数且n不等于0.
列表：
| n\m | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| n=1 | 1/1=1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | |
| n=2 | 2/1=2 | 2/2=1 | 2/3 | 2/4=1/2 | |
| n=3 | 3/1=3 | 3/2 | 3/3=1 | 3/4 | |
| n=4 | 4/1=4 | 4/2=2 | 4/3 | 4/4=1 | |
| ... |
于是我们可以根据表，用一种折线排序法把有理数写成一个集和。每当遇到一个数在集和中已经存在时，跳过这个数。例如，根据上表我们得到的集和是：{1, 1/2, 2, 3, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, ...}，再将这个集和和自然数集进行一一对应即可。
Q4：实数集比自然数集大（或实数集是不可数集）：
我们已知自然数集是可数集，只需证明实数集是不可数集即可。用反证法进行证明：
证明：
假设实数在(0, 1)上可数，则一定存在一个可数集合A{a1, a2, a3, ..., an} (n->＋∞)，这个集合包括了(0, 1)上的所有实数。
现在构造一个实数a0∈(0, 1)，令a0小数点后的第k位和ak的第k位不同(0<=k<=n)，则a0与集合A中的任意一个实数都有至少一位不同，因此a0不在集合A中。
因此不存在可数集合A，包括了(0, 1)上的所有实数，推广后可得不存在一个可数集合能够包括所有实数。
因此实数集是不可数集
Q5：对于平面直角坐标系xoy，x轴上的实数和整个平面上的实数一样多
要证明这个命题成立，需要证明：点集{(ak, bk)}和数集{ck}之间存在一一对应关系。
证明：
对于平面上横纵坐标均大于0小于1的正方形区域，令实数a∈(0, 1)，b∈(0, 1)，c∈(0, 1)
对于该区域内的任意点(a, b)，可以构造出唯一确定的数c；对于该区域内的任意数，可以构造出唯一确定的点(a, b)
构造方法：
- 已知a，b：若a有n位，b有m位，构造c有2*MAX(m, n)位。a和b的各位分别构成c的奇分位和偶分位。
- 已知c：若c有n位，构造a，b有(n+n%2)/2位，c的奇分位和偶分位分别构成a和b的各位。
从该正方形区域推广到整个xoy平面即可。
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