题解 CF1776F【Train Splitting】

题意：有一个 \(n\) 点 \(m\) 边简单无向连通图，请用若干（至少为 \(2\)）种颜色对每条边染色，使得：

• 对于每种颜色，仅由该颜色的边组成的生成子图不连通。
• 对于每两种颜色，仅由该颜色的边组成的生成子图连通。

不难想到如下思路：

• 找出一个节点 \(u\)，将所有与 \(u\) 相连的边分配颜色 \(1\)。
• 将其他边分配颜色 \(2\)。

此时，整张图只有两种颜色，因此第二个要求显然成立。同时，\(u\) 必然不与其他点连通，颜色 \(2\) 的第一个要求也成立。只需考虑颜色 \(1\) 的第一个要求。

如果找到节点 \(u\)，使得 \(d(u)<n\)，此时至少一个节点不与 \(u\) 连通，本题就做完了。

只有在原图是完全图的时候才找不到这样的节点 \(u\)，此时拿出一个颜色 \(1\) 的边，将其改为颜色 \(3\) 即可。显然这种构造符合要求。

// Problem: F. Train Splitting
// Contest: Codeforces - SWERC 2022-2023 - Online Mirror (Unrated, ICPC Rules, Teams Preferred)
// URL: https://codeforces.com/contest/1776/problem/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

//By: OIer rui_er
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x,y,z) for(int x=(y);x<=(z);x++)
#define per(x,y,z) for(int x=(y);x>=(z);x--)
#define debug(format...) fprintf(stderr, format)
#define fileIO(s) do{freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);}while(false)
#define likely(exp) __builtin_expect(!!(exp), 1)
#define unlikely(exp) __builtin_expect(!!(exp), 0)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 55;

int T, n, m, deg[N], ans[N*N];
vector<pair<int, int>> e[N];
template<typename T> void chkmin(T& x, T y) {if(x > y) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T& x, T y) {if(x < y) x = y;}

int main() {
	for(scanf("%d", &T); T; T--) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		rep(i, 1, m) {
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			e[u].emplace_back(v, i);
			e[v].emplace_back(u, i);
			++deg[u]; ++deg[v];
		}
		if(*min_element(deg+1, deg+1+n) < n - 1) {
			int u = min_element(deg+1, deg+1+n) - deg;
			puts("2");
			rep(i, 0, deg[u]-1) ans[e[u][i].second] = 1;
			rep(i, 1, m) if(!ans[i]) ans[i] = 2;
		}
		else {
			puts("3");
			ans[e[1][0].second] = 1;
			rep(i, 1, deg[1]-1) ans[e[1][i].second] = 2;
			rep(i, 1, m) if(!ans[i]) ans[i] = 3;
		}
		rep(i, 1, m) printf("%d%c", ans[i], " \n"[i==m]);
		rep(i, 1, n) e[i].clear();
		rep(i, 1, n) deg[i] = 0;
		rep(i, 1, m) ans[i] = 0;
	}
	return 0;
}