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3 - 标准数据加密(DES)及其备选

时间:2023-02-24 23:46:03浏览次数:50  
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标准数据加密(DES)及其备选

我的博客
原书:《Understanding Cryptography: A Text book for Students and Practitioners》

数据加密标准从出现到现在的 30 年一直都是最流行的块运算加密。即便它的密钥太短,现在不认为是一种安全的算法,在落后的应用里,它依然有应用市场。另外,基于 DES 的 3DES 是一种安全的算法,现在依然有广泛地应用。DES 是大众最熟悉的对称算法,它的设计原则激励了很多现代算法。

3.1 DES 介绍

3.1.1 混乱与扩散

在介绍详细介绍 DES 之前,需要看一下实现强加密的一些步骤。通过信息论之父香农的理论,有两个构建强加密算法的操作:

  1. 混乱 是一个加密动作,用以掩盖密钥与密文之间的关系,最常见的一种方式是替换,这在 DES 以及 AES 中使用
  2. 扩散 是一个加密动作,用以将原文扩散到更多的密文中,掩盖静态的原文特性,一个简单的方式是置换,在 DES 中频繁使用

只进行混乱的运算,比如移位运算,是不安全的。只进行扩散的运算,也是不安全的。将二者串联的运算,可以构建一个安全性较强的运算。量多种加密操作串联在一起是由香农提出的。

现今的块运算具有很好的扩散属性,在运算层级,这意味着修改原文的一个比特,将会导致接近一半的比特的修改,变化后的密文与前一个密文看起来是完全独立的。

例3.1 我们假设一个小的块运算,具有 8 比特块长度。加密两个原文 $$x_1$$ 以及 $$x_2$$,它们二者只有一个比特不同,但是会得到完全不同的结果:

\[x_1 = 0010 1011 \quad (块运算) \quad y_1 = 1011 1001 \\ x_2 = 0000 1011 \quad (块运算) \quad y_2 = 0110 1100 \]

注意到,现代块运算具有 64 或 128 比特长,也具有上面这样的特性。

3.2 DES 算法总览

DES 运算加密块长度为 64 比特,密钥长度 56 比特长。

DES 是一个对称运算,既加密与解密使用相同的密钥。DES 也是一种迭代算法。对于每一个运算块,会进行 16 轮的独立操作。每一轮的不同子密钥都是从主密钥 k 中得到。

在 DES 内部结构是 Feistel 网络,Feistel 网络加密与解密使用相同的操作。解密只需要使用相反的密钥过程,这在软件与硬件实现上都是一个优势。

在对原文 x 进行初始化的比特置换 IP 后,原文分为 $$L_0$$ 以及 $$R_0$$。这是两个 32 位的 Feistel 网络输入,这些一共有 16 轮。右半拉 $$R_i$$ 给到函数 $$f$$。$$f$$ 函数的输出与左半拉 $$L_i$$ 进行异或。最后,右半拉与左半拉交换。这个过程在下一轮重复:

\[L_i = R_{i-1} \\ R_i = L_{i-1} \oplus f(R_{i-1},k_i) \]

其中 $$i = 1,...,16$$。在第 16 轮后,32位的 $$L_{16}$$ 以及 $$R_{16}$$ 再次交换,最后的置换 $$IP^{-1}$$ 是 DES 的最后一个操作。最后的置换是最初置换 $$IP$$ 的逆。在每一轮的密钥 $$k_i$$ 是从 56 位的主密钥通过密钥调度生成。

Feistel 结构每一轮只对一半输入加密,输入的左半边加密,右半边保持到下一轮。右半边不通过 $$f$$ 函数加密。为了更好的理解 Feistel 运算,下面的解释可能有帮助:考虑 $$f$$ 函数是一个伪随机数生成器,这个随机数生成器有两个输入 $$R_{i-1}$$ 以及 $$k_i$$,伪随机数的输出之后通过异或用来加密左半边的 $$L_{i-1}$$。就像在第二章中介绍的,如果 $$f$$ 函数对于攻击者而言是不可预测的,那么这个加密结果就是强安全的。

前面提到了基础的运算操作,混乱与扩散,是通过 $$f$$ 函数实现的。为了挫败分析攻击,$$f$$ 函数必须小心地设计。

3.3 DES 内部结构

DES 的构建的块有初始与最终置换,真正的 DES 轮是它的核心,$$f$$ 函数以及密钥策略。

3.3.1 初始与最终置换

初始化置换 $$IP$$ 以及最终的置换 $$IP^{-1}$$ 都是按位置换。有趣的是,按位置换通过硬件十分容易实现,而通过软件效率并不高。注意到,两次置换并不会增加 DES 的安全性,这两个置换存在的具体原因我们不知道,最初的意图好像是准备原文、密文并令数据数据更容易通过 8 位数据总线提取,这在 19 世纪 70 年代是寄存器的尺寸。

下表是 \(IP\) 执行的置换:

IP
58 50 42 34 26 18 10 2
60 52 44 36 28 20 12 4
62 54 46 38 30 22 14 6
64 56 48 40 32 24 16 8
57 49 41 33 25 17 9 1
59 51 43 35 27 19 11 3
61 53 45 37 29 21 13 5
63 55 47 39 31 23 15 7

下表是 \(IP^{-1}\) 执行的置换:

\(IP^{-1}\)
40 8 48 16 56 24 64 32
39 7 47 15 55 23 63 31
38 6 46 14 54 22 62 30
37 5 45 13 53 21 61 29
36 4 44 12 52 20 60 28
35 3 43 11 51 19 59 27
34 2 42 10 50 18 58 26
33 1 41 9 49 17 57 25

3.3.2 $$f$$函数

就像之前提到的,\(f\) 函数在 DES 的安全性中是至关重要的。在第 \(i\) 轮中,它取用前一轮输出的右半边的 \(R_{i-1}\) 以及当前轮的密钥 \(k_i\) 做为输入。\(f\) 函数的输出用作加密左半边输入 \(L_{i-1}\) 加密的掩码。

首先通过将 4 位的块扩展得到 6 位的块,将 32 位的输入扩展到 48 位。这是在 E 盒中发生,它是一种特殊的置换。

从下表中可以看到,32 位输入其中的 16 位在输出中出现了两次。相同的位不会在同一个 6 位输出中出现两次。E 盒是一种扩散行为。

E 盒
32 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9
8 9 10 11 12 13
12 13 14 15 16 17
16 17 18 19 20 21
20 21 22 23 24 25
24 25 26 27 28 29
28 29 30 31 32 1

接下来,48 位的结果与对应轮的密钥 \(k_i\) 做异或操作,然后这八个 6 位块给到 8 个不同的替换盒 S 盒。每一个 S 盒都是个查询表,可以将 6 位输入映射位 4 位输出。八个 \(4\times6\) 的表,每一个 S 盒包含 \(2^6 = 64\) 个条目,通常表示为 16 列 4 行。每一个条目都是一个 4 位值。所有的 S 盒在下面列出。所有的 S 盒都是不同的。每一个 6 位输入的最高位与最低位选择选择表格的行,剩下的内部四位选择列。表格中条目中的整数 0,1,...,15 是 4 位值的十进制表示。

\(S_1\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 14 04 13 01 02 15 11 08 03 10 06 12 05 09 00 07
1 00 15 07 04 14 02 13 01 10 06 12 11 09 05 03 08
2 04 01 14 08 13 06 02 11 15 12 09 07 03 10 05 00
3 15 12 08 02 04 09 01 07 05 11 03 14 10 00 06 13
\(S_2\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 15 01 08 14 06 11 03 04 09 07 02 13 12 00 05 10
1 03 13 04 07 15 02 08 14 12 00 01 10 06 09 11 05
2 00 14 07 11 10 04 13 01 05 08 12 06 09 03 02 15
3 13 08 10 01 03 15 04 02 11 06 07 12 00 05 14 09
\(S_3\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 10 00 09 14 06 03 15 05 01 13 12 07 11 04 02 08
1 13 07 00 09 03 04 06 10 02 08 05 14 12 11 15 01
2 13 06 04 09 08 15 03 00 11 01 02 12 05 10 14 07
3 01 10 13 00 06 09 08 07 04 15 14 03 11 05 02 12
\(S_4\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 07 13 14 03 00 06 09 10 01 02 08 05 11 12 04 15
1 13 08 11 05 06 15 00 03 04 07 02 12 01 10 14 09
2 10 06 09 00 12 11 07 13 15 01 03 14 05 02 08 04
3 03 15 00 06 10 01 13 08 09 04 05 11 12 07 02 14
\(S_5\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 02 12 04 01 07 10 11 06 08 05 03 15 13 00 14 09
1 14 11 02 12 04 07 13 01 05 00 15 10 03 09 08 06
2 04 02 01 11 10 13 07 08 15 09 12 05 06 03 00 14
3 11 08 12 07 01 14 02 13 06 15 00 09 10 04 05 03
\(S_6\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 12 01 10 15 09 02 06 08 00 13 03 04 14 07 05 11
1 10 15 04 02 07 12 09 05 06 01 13 14 00 11 03 08
2 09 14 15 05 02 08 12 03 07 00 04 10 01 13 11 06
3 04 03 02 12 09 05 15 10 11 14 01 07 06 00 08 13
\(S_7\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 04 11 02 14 15 00 08 13 03 12 09 07 05 10 06 01
1 13 00 11 07 04 09 01 10 14 03 05 12 02 15 08 06
2 01 04 11 13 12 03 07 14 10 15 06 08 00 05 09 02
3 06 11 13 08 01 04 10 07 09 05 00 15 14 02 03 12
\(S_8\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 13 02 08 04 06 15 11 01 10 09 03 14 05 00 12 07
1 01 15 13 08 10 03 07 04 12 05 06 11 00 14 09 02
2 07 11 04 01 09 12 14 02 00 06 10 13 15 03 05 08
3 02 01 14 07 04 10 08 13 15 12 09 00 03 05 06 11

例 3.2 S 盒输入 \(b = (100101)_2\) 表示行为 \(11_2 = 3\) 既第四行,\(0010_2 = 2\) 既第三列。如果输入 b 给到 S 盒 \(S_1\) 那么输出就是:

\[S_1(37 = 100101_2) = 8 = 1000_2 \]

S 盒在加密强度上是 DES 核。它们在算法中是非线性元素,并提供混乱属性。S 盒按照下面列出的标准设计:

  1. 每一个 S 盒具有六比特输入与四比特输出
  2. 单个的输出比特不能靠得太近现得是个输入比特的线性组合似的
  3. 如果输入的最低位与最高位比特固定中间的四位比特变化,每一个可能的 4 比特输出值只能出现一次
  4. 如果 S 盒的两个输入只有一个比特不同,它们的输出至少有两比特不同
  5. 如果 S 盒的两个输入的中间两个比特不同,它们输出至少有两个比特不同
  6. 如果 S 盒的两个输入的前两个比特不同,而后两个比特相同,输出不同
  7. 问题
  8. 八个 S 盒的 32 位输出冲突,只有三个毗邻的 S 盒出现

S 盒是 DES 中最关键的组成部分,因为它们为运算引入了非线性元素,既:

\[S(a)\oplus S(b) \ne S(a \oplus b) \]

如果没有非线性块,攻击者可以在密钥未知的情况下使用一组线性方程来表示 DES 输入与输出的关系,这样的系统是很容易被攻击的。

最后,32 位的输出通过 P 置换进行按位置换。与初始化置换 \(IP\) 及其逆 \(IP^{-1}\) 不同,置换 P 引入扩散,因为每一个 S 盒的四位输出的置换方式会影响多个后续 S 盒。S 盒与 P 置换保证了在第五轮结束每一位是所有原文位与密钥位的函数,这是雪崩效应。

P
16 7 20 21 29 12 28 17
1 15 23 26 5 18 31 10
2 8 24 14 32 27 3 9
19 13 30 6 22 11 4 25

3.3.3 密钥策略

密钥策略生成 16 轮的密钥 \(k_i\),每一轮的密钥都原始的 56 位密钥生成 48 位密钥。首先,注意到 DES 输入密钥通常是以 64 位的形式给出的,其中每第八位用作其余七位的奇偶校验位。八个奇偶校验位不是密钥的实际组成部分,并且不会增加安全性。DES 是一个 56 位的运算而非 64 位运算。

初始密钥置换 PC - 1:

PC - 1
57 49 41 33 25 17 9 1
58 50 42 34 26 18 10 2
59 51 43 35 27 19 11 3
60 52 44 36 27 19 11 3
60 52 44 36 63 55 47 39
31 23 15 7 62 54 46 38
30 22 14 6 61 53 45 37
29 21 13 5 28 20 12 4

得到的 56 位的密钥分割成两半块 \(C_0\) 以及 \(D_0\),这两半块会进行循环移位,并依赖于下面的规则:

  • 在 \(i = 1,2,9,16\) 轮,这两半密钥循环左移一位
  • 在其他轮 \(i \ne 1,2,9,16\),这两半密钥循环左移两位

注意到,循环移位只会在左半密钥或右半密钥中的其中一个进行。总的移动位置为 \(4 \cdot 1 + 12 \cdot 2 = 28\)。这会有 \(C_0 = C_{16}\) 及 \(D_0 = D_{16}\)。

为了得到 48 位的密钥 \(k_i\),这两半会使用 PC - 2 进行按位置换。PC - 2 置换采用 \(C_i\) 及 \(D_i\) 组成的 56 位的输入,并忽略它们其中的 8 位。

PC - 2
14 17 11 24 1 5 3 28
15 6 21 10 23 19 12 4
26 8 16 7 27 20 13 2
41 52 31 37 47 55 30 40
51 45 33 48 44 49 39 56
34 53 46 42 50 36 29 32

注意到,每一轮的密钥是从输入密钥 k 中提取出经置换后的 48 位密钥。

3.4 解密

DES 的一个优点是,解密函数与加密函数是一致的。这是因为 DES 是基于 Feistel 网络。与加密过程相比,解密的密钥策略是正好相反的,及在解密的第一轮使用的密钥是第 16 轮的加密密钥,在第二轮,解密密钥用的第 15 轮的加密密钥,以此类推。

反向密钥策略

我们第一个问题是,给到 DES 的初始密钥 k 如何可以轻松得到 \(K_16\)。注意到,我们看到上面的 \(C_0 = C_{16}\) 且 \(D_0 = D_{16}\),因此 \(k_{16}\) 可以直接在 PC - 1 后得到:

\[k_{16} = PC - 2(C_{16},D_{16})\\ = PC - 2(C_0,D_0) \\ = PC - 2(PC - 1(k)) \]

为了计算 \(k_{15}\) 我们需要计算中间变量 \(C_{15}\) 及 \(D_{15}\),这是可以通过 \(C_{16}\) 及 \(D_{16}\) 通过循环右移得到:

\[k_{15} = PC - 2(C_{15},D_{15}) \\ = PC - 2(RS_2(C_{16}),RS_2(D_{16})) \\ = PC - 2(RS_2(C_0),RS_2(D_0)) \]

其他轮的子密钥按照相似的方式通过循环右移得到,并遵循下面的规则:

  • 第一轮解密,密钥没有移位
  • 在解密轮 2,9 以及 16 两半密钥都循环右移一位
  • 在其他轮,两半循环右移两位

Feistel 网络中的解密

为什么解密与加密使用相同的函数。基础的思想是解密函数以一轮一轮的方式对 DES 加密逆计算。这意味着,第一轮解密是第十六轮的逆,解密的第二轮是第十五轮的逆,以此类推。 注意到在最有一轮的 DES 中,左半边与右半边进行了交换:

\[(L_0^d,R_0^d) = IP(Y) = IP(IP^{-1}(R_{16},L_{16})) = (R_{16},L_{16}) \]

因此有:

\[L_0^d = R_{16} \\ R_0^d = L_{16} = R_{15} \]

我们在所有解密轮对应的变量上都待有 d 标识。我们现在可以看一下第一个解密轮对最后一个加密轮做逆操作。首先,我们将第一轮解密的输出值表示为\((L_1^d,R_1^d)\),并将解密最后一轮的输入值表示为 \((L_{15},R_{15})\)。有:

\[L_1^d = R_0^d = L_{16} = R_{15} \]

现在可以看一下 \(R_1^d\) 是如何计算的:

\[R_1^d = L_0^d \oplus f(R_0^d,k_{16}) = R_{16} \oplus f(L_{16},k_{16}) \\ R_1^d = [L_{15} \oplus f(R_{15},k_{16})] \oplus f(R_{15},k_{16}) \\ R_1^d = L_{15} \oplus [f(R_{15},k_{16}) \oplus f(R_{15},k_{16})] = L_{15} \]

关键的步骤在上述最后一个等式中表示,\(f\) 函数与 \(L_{15}\) 进行两次异或,\(f\) 就被消掉了,因此有 \(R_1^d = L_{15}\)。后面的 15 轮解密可以表示为:

\[L_i^d = R_{16 - i},\\ R_i^d = L_{16 - i} \]

其中 \(i = 0,1,...,16\),在最后一轮解密轮有:

\[L_{16}^d = R{16 - 16} = R_0 \\ R_{16}^d = L_0 \]

在解密的最后过程,我们进行初始置换的逆:

\[IP^{-1}(R_{16}^d,L_{16}^d) = IP^{-1}(L_0,R_0) = IP^{-1}(IP(x)) = x \]

\(x\) 就是我们给到 DES 的原文了。

3.5 DES 安全性

就像我们之前讨论过的,加密运算会可能会受到多种方式攻击。在 DES 提出后,已经有两个大家比较担心的点:

  1. 密钥空间太小,既比较容易被暴力破解
  2. S 盒设计标准是保密的,因此可能存在分析攻击

后面会介绍两周类型的攻击手段。我们先将结论放在这里:在 DES 的声明周期中,分析攻击是低效的,但是 DES 现在可以轻松通过穷举密钥的方式攻击,因此单纯的 DES 不再适合当前大部分的应用了。

3.5.1 穷举密钥搜索

最初由 IBM 提出的运算具有 128 位密钥长度,但是后来降为 56 位。官方通告是,这样的运算可以在 1974 年的单片机上简单实现。使用穷举法暴力破解的原则:

定义3.5.1 DES 穷举密钥搜索,输入至少是一对原文-密文对(x,y),输出: k,这样有:

\[y = DES_k(x) \]

攻击:穷举所有可能的 \(2^{56}\) 密钥,直到满足下面的条件:

\[DES_{k_i}^{-1}(y) = x,i = 0,1,...,2^{56} - 1 \]

有 \(1/2^{16}\) 的小概率找到错误的密钥,既,密钥 k 只能正确解密一个密文 y 而不能解密后续的密文。如果希望防止发生这种情况,攻击者必须使用第二个原文-密文对验证这个密钥。

DES 暴力破解攻击随着硬件价格的下降,成本变得越来越低。在 2006 年,COPACOBANA: Cost-Optimized Parallel Code-Breaker 机基于商业集成电路,破解 DES 平均使用时间少于 7 天,构建硬件只需要一万美圆。

总而言之,在今天 56 位的密钥长度还是太短了。因此,单 DES 只在短期安全应用中使用(可能只需保密几小时),或者待加密的数据价值非常低。不过 DES 的变体,尤其是 3DES 依旧是安全的。

3.5.2 分析攻击

就像第一章中介绍的那样,分析攻击是十分强劲的手段。不过无论是由 Eli Biham & Adi Shamir 发明的微分解密分析(DC: Differential crypt-analysis)还是由 Mitsuru Matsui 发明的线性解密分析(LC: Linear cryptanalysis)的解密能力都取决于 S 盒的设计。

无论使用 DC 还是使用 LC,攻击者都需要海量的原文-密文对,这显然是不现实的。

3.6 软件与硬件实现

软件

直接使用软件实现 DES 的性能会特别差,这是因为 DES 中有大量的位运算,尤其是 E 与 P 置换。相似的,S 盒使用硬件实现也更高效。实现 DES 一般方法是将预计算的值组成表,需要时直接查表。经优化后,在 32 位 CPU 上加密一块数据需要 240 周期。在一个 2 GHz 的 CPU 可以达到 533 Mbps 的性能。3DES,相较于 DES 更加安全,但是只能以 1/3 DES 的速度运行。没有优化的实现会更慢,通常低于 100 Mbps。

硬件

硬件实现 DES 是十分高效的。置换如 \(E,P,IP,IP^{-1}\) 等使用硬件实现十分简单。小的 \(6\times 4\) S 盒实现也比较容易。通常,它们使用布尔运算,既逻辑门。一个 S 盒平均需要 100 个逻辑门。

实现一轮的 DES 可能需要消耗 3000 个逻辑门。使用硬件实现的 DES 运算是十分快速的,大概能够跑到 100 Gbps。

3.7 DES 备选

存在很多其他的块运算加密算法。

3.7.1 高级加密标准 (AES) 以及 AES 最终加密

现今,很多的应用都选择使用 AES: Advanced Encryption Standard 算法。AES 为防止暴力破解有三种密钥长度,分别为 128、192、256 位,目前为止,没有有效的分析攻击能够有效破解算法。

3.7.2 三重 DES(3DES) 以及 DESX

AES 的备选方案是 3DES: triple DES,3DES 由三重子 DES 加密组成:

\[y = DES_{k_3}(DES_{k_2}(DES_{k_1}(x))) \]

这三重 DES 使用不同的密钥。

3DES 现在尚可以有效方式暴力破解与分析攻击。

另一个版本的 3DES 是:

\[y = DES_{k_3}(DES_{k_2}^{-1}(DES_{k_1}(x))) \]

3DES 使用硬件实现是十分高效的。

3.7.3 轻量级加密 PRESENT

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