二分图

二分图，顾名思义，能分成两部分，每部分之间没有边的图。判定很简单，染色法，没有奇环就行。

void dfs(int x,int col){
	v[x]=col;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
		if(!v[edge[i].v])dfs(edge[i].v,3-col);
		else if(v[edge[i].v]==v[x]){
			jud=false;return;
		}
	}
}
dfs(i,1);

然后是最重要的：二分图最大匹配。我们采用匈牙利算法。

首先定义增广路：非匹配边与匹配边交替出现的路。最大匹配中不存在增广路。

于是匈牙利算法就按照判增广路的流程解决问题。

bool dfs(int x){
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
		int to=edge[i].v;
		if(!v[edge[i].v]){
			v[edge[i].v]=true;
			if(!match[edge[i].v]||dfs(match[edge[i].v])){
				match[edge[i].v]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	memset(v,false,sizeof(v));
	if(dfs(i))ans++;
}

注意算法流程中二分图建的是单向边。

二分图带权匹配：两种解法，KM算法（只适用于完备匹配）和费用流。（待补）

二分图最小点覆盖：最小的点集使得任意一条边都有一个端点在选的点内。

二分图最小点覆盖点数等于二分图最大匹配边数。

二分图最大独立集：最大的点集使任意两点没有边连。

二分图最大独立集大小等于n-最大匹配数，n为节点数。

DAG图的最小点覆盖：

1. 建立邻接矩阵。
2. 如果路径可重就跑一边floyd传递闭包，不可重就不跑。
3. 建立拆点二分图。具体的，把原图的x拆成x和x+n两个点。对于原图边(x,y)，在二分图(x,y+n)连边。
4. 跑最大独立集。

然后是二分图的模型建立。（以下参考蓝书）

二分图匹配的模型有两个要素：

1. 0要素： 节点能分成独立的两个集合；
2. 1要素：每个节点只能和一条匹配边相连。

举个例子：给个棋盘，n * m，放2 * 1的多米诺骨牌，求最多放多少块。

则其中：对角的格子不能被同一块覆盖，每个格子只能覆盖一个。

所以我们把每个格子向相邻的格子建边跑最大匹配就行了。

然后是二分图最小点覆盖：

2要素：每条边有2个端点，每次至少选一个。

举个例子：n * m的棋盘，用宽度为1，长度任意的木板覆盖一些标记点，不能覆盖未标记点。求最少多少块。

显然，每点要么被纵向的覆盖要么被横向的覆盖。所以直接每个点的行连到列跑最小点覆盖就行。