复旦大学2022--2023学年第一学期高等代数I期末考试情况分析

一、期末考试成绩班级前十名的同学

祁振宁(100)、张家溢(90)、李燊旭(90)、马琪旻(90)、秦保睿(90)、肖竣严(90)、盖括(90)、潘飞越(90)、孙珺阳(89)、洪昕(89)、林鑫(89)

二、总评成绩计算方法

平时成绩根据交作业的次数决定。本学期共交作业10次，共100分，少1次扣10分。

总评成绩=平时成绩*15%+期中考试成绩*15%+期末考试成绩*70%

三、期末卷面成绩及人数

四、最终等第成绩及人数

五、试卷命题分析

本次期末试卷的第一大题为8道选择题，主要考察学生对基本概念的理解程度和对定理结论以及作业中常见结论的熟悉程度；第二大题为8道填空题，它们与第三、四、五大题同为计算题，覆盖了整个高等代数I中所有重要的计算要点，这也是高等代数II和后续专业课程必需的计算基本功；第六、七、八大题同为证明题，其中第六大题是简单证明题，第七大题和第八大题是压轴证明题。遵循高等代数I的教学目标，试卷的前六大题共计80分，着重考察学生对基本概念的理解、基本计算的掌握以及证明推导能力的养成；最后两道较难的证明题，让各层次的学生尽情发挥，使卷面成绩出现必要的梯度。学生的卷面成绩说明本试卷难易度适中，设计合理，富有层次，具有较好的区分度。

六、学生成绩分析

从期末考试的卷面成绩来看，80分以上的同学占了55.6%；70分以上的同学占了91.7%；整个班级的平均分为79.1分。最终等第成绩也与期末卷面成绩保持一致，获得AB类的同学共占了98.6%。应该说数学学院本科22级同学（包括17名高年级转专业同学）在本次期末考试中取得了优异的成绩，交出了一份满意的答卷。

七、教学效果分析

下面我们依次对最后两道大题进行分析。

@第七大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/17045357.html）

本题主要考察矩阵秩的限制条件对矩阵运算的影响，涉及到的考点有：矩阵秩的基本公式，矩阵方程 $AX=B$ 有解的判定准则，分块矩阵的初等变换及其性质，行列式的降阶公式和矩阵秩的降阶公式等。本题需要学生对矩阵秩的几何意义（比如利用 $A_{11}$ 行向量的极大无关组可以消去 $A_{21}$）或对矩阵方程 $AX=B$ 有解的判定准则比较熟悉，才能找到证明的切入点。从这一点来说，本题具有相当的技巧性，因此得分的同学并不多。

本题得分在7分以上的同学共有16人（排名不分先后）：秦保睿、洪昕、张东宁、刘胡德、黄昱凯、龚汉霖、李嘉俊、林鑫、姚明超、张家溢、王树鹏、李燊旭、刘轩麟、宋哲烨、吴雨坤、祁振宁。

@第八大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/17044048.html）

本题主要考察若干幂等线性变换的像空间和核空间诱导的全空间的直和分解。因为本题是高代白皮书例 4.59 和第 4 章解答题 10 的略微推广，即将条件 $\varphi_i\varphi_j=0\,(i\neq j)$ 改为 $\varphi_i\varphi_j=0\,(i<j)$，所以基本上每位同学都做了尝试。然而很可惜的是，尝试证明的绝大部分同学都忽略了条件已经变成 $\varphi_i\varphi_j=0\,(i<j)$，所以按部就班地写下白皮书证法的同学最多只能得到3分。此外，历届学生在几何证明中（线性空间和线性变换）经常出现的概念错误也出现在10位22级同学身上。例如，把子空间的交写成空集 $\mathrm{Im}\varphi_i\cap\mathrm{Im}\varphi_j=\emptyset$；把和空间写成并集 $\bigcup_{i=1}^k\mathrm{Im}\varphi_i$；子空间的和 $\sum_{i=1}^k\mathrm{Im}\varphi_i$ 是直和当且仅当 $\mathrm{Im}\varphi_i\cap\mathrm{Im}\varphi_j=0\,(i\neq j)$，等等。产生这些概念错误十分不应该，希望犯错误的同学好好反省，今后注意务必避免。

本题得分在7分以上的同学共有8人（排名不分先后）：祁振宁、潘飞越、李明昊、肖竣严、马琪旻、范倚天、盖括、蒋柏文。

八、对22级同学的寄语与期待

本学期是我的高等代数课程荣获2020年首批国家级一流本科课程之后实施混合式教学的第四个学期。在周4学时的正课方面，高年级转专业学生进行线上学习；在周2学时的习题课方面，不仅要求所有学生利用周末提前学习高代习题课在线课程，而且在周一下午的线下习题课上，要求学生现场做题并上台讲解证明题。在正课和习题课上都实施混合式教学，经过本学期进一步的探索与实践，不仅增进了师生之间的交流与互动，而且激发了学生自主学习的动力，取得了良好的教学效果。

为了混合式教学的顺利开展，习题课老师冯鸽博士后每个周末都和我仔细商讨习题课的练习题设计（包括70%的计算题和30%的证明题）；研究生助教张丹丹、刘思璐和陈思尧十分认真地批改每一次线下作业、线上作业和期中考试试卷等。数学学院22级同学以及高年级转专业同学能在本次期末考试中取得优异的成绩，除了同学们自身的努力拼搏之外，我相信也离不开教学团队每一位成员的辛勤付出！在此我谨代表全体学生对冯鸽博士后、研究生助教张丹丹、刘思璐和陈思尧表示衷心的感谢！

虽然22级同学在本次期末考试中取得了优异的成绩，但从最后两道压轴证明题的完成度来看，其实大家还有非常大的上升空间。另外，本学期的高代每周一题活动，全程参与的同学并不多，特别是期中考试之后，提交解答的同学更是寥寥无几（小于等于5）。真心希望22级同学（包括高年级转专业同学）能充分利用高代每周一题这一平台，将高代中的重要思想、方法和技巧融会贯通，并在做难题方面得到更大的提升。

由于疫情防控政策的调整和优化，本学期的教学时而线下、时而线上，最后一个月大家基本上也都全部返乡。由于2022年底的一个月是疫情高峰期，可能那时大家都已经历过病毒的入侵，因此我曾一度很担心线上期末考试能否进行。不过，最终我们还是以线上期末考试顺利地结束了本学期的高代教学，并且大家在本次期末考试中获得的优异成绩也为这个不平凡的学期画上了一个完美的句号。

最后，衷心感谢22级同学一学期来的陪伴！让我们相约在2023年的春天，在复旦的线下课堂上再次相逢！