P3426 [POI2005]SZA-Template 解题报告

一道思维难度较高的 KMP 题目，对 border 性质要求较高。

Description

给定一个字符串 $s$, 求长度最小的前缀 $t$ 满足"匹配"完 $s$，这里的"匹配"可以看原题目，不太好描述，建议根据样例手玩一下。

Solution 1

考虑 fail 树。$n$ 为 $s$ 的长度。

我们发现一个前缀 $t$ 能够满足题目要求"匹配", 则它必然是 $s$ 的 border。 同时还要满足所有 border 为它的位置之间距离最大值小于等于 $t$ 的长度。

那么我们可以从小到大枚举 $s$ 的 border， 即从根往节点 $n$ 走， 每次删除当前节点的子树， 用双向链表维护距离最大值。

Code 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -f; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); c = getchar();}
    return x * f;
}
const int N = 5e5 + 10;
int n, mx, nxt[N], pre[N], suf[N], to[N];
char s[N];
vector<int> E[N];
inline void chmax(int &x, int y) {x = max(x, y);}
inline void del(int x) {
    if (x) {
        int tp = pre[x], ts = suf[x];
        chmax(mx, ts - tp);
        suf[tp] = ts; pre[ts] = tp;
    }
    for (auto v : E[x]) if (v != to[x]) del(v);
}
int main () {
    scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1);
    nxt[1] = 0; 
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++ i) {
        while (j && s[i] != s[j+1]) j = nxt[j];
        if (s[i] == s[j+1]) ++ j; nxt[i] = j;
    } 
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) E[nxt[i]].push_back(i);
    for (int i = n; i; i = nxt[i]) to[nxt[i]] = i;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) pre[i] = i - 1, suf[i] = i + 1; del(0);
    int ans = 1; 
    while (mx > ans) del(ans), ans = to[ans];
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

Solution 2

考虑 DP。用 $dp_i$ 表示长度为 $i$ 的 $s$ 的前缀的答案。

有一个很奇妙的性质就是 $dp_i$ 只可能有两种取值， $i$ 或者 $dp_{nxt_i}$。

感性上证明一下。设 $t$ 为当前的前缀， $p$ 为 $t$ 的最长border。

能够"匹配" $t$ 的必要条件就是能够与 $t$ 相同或者能够和 $p$ "匹配"。因为除了 $t$ 本身以外， 最长的可能匹配串就是 $p$， 而只有能够匹配 $p$，才能和 $t$ 匹配 。

那么什么时候 $dp_i$ 能取到 $dp_{nxt_i}$ 呢？我们显然能够"匹配"到长度为 $nxt_{i}$的前缀和后缀，因此我们只要找到长度 $nxt_i$的前缀能够匹配最远的距离 $j$, 满足 $i - nxt_i \leq j$ 即可。

Code 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -f; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); c = getchar();}
    return x * f;
}
const int N = 5e5 + 10;
int n, nxt[N], dp[N], vis[N];
char s[N];
int main () {
    scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1);
    nxt[1] = 0;
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++ i) {
        while (j && s[i] != s[j+1]) j = nxt[j];
        if (s[i] == s[j+1]) ++ j;
        nxt[i] = j;
    }
    dp[1] = 1; vis[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
        dp[i] = i;
        if (vis[dp[nxt[i]]] >= i - nxt[i]) dp[i] = dp[nxt[i]];
        vis[dp[i]] = i;
    }
    printf("%d\n", dp[n]);
    return 0;
}