题目
题目描述
有 n 个同学（编号为 1 到 n）正在玩一个信息传递的游戏。在游戏里每人都有一个固定的信息传递对象，其中，编号为 i 的同学的信息传递对象是编号为Ti的同学。
游戏开始时，每人都只知道自己的生日。之后每一轮中，所有人会同时将自己当前所知的生日信息告诉各自的信息传递对象（注意：可能有人可以从若干人那里获取信息， 但是每人只会把信息告诉一个人，即自己的信息传递对象）。当有人从别人口中得知自己的生日时，游戏结束。请问该游戏一共可以进行几轮?
输入描述
第 1 行包含 1 个正整数 n，表示 n 个人。第 2 行包含 n 个用空格隔开的正整数T1,T2, … … ,Tn，其中第 i 个整数Ti表示编号为 i 的同学的信息传递对象是编号为Ti的同学，Ti≤ n 且Ti≠ i。数据保证游戏一定会结束。
输出描述
1个整数，表示游戏一共可以进行多少轮。
示例1
输入
5
2 4 2 3 1
输出
3
说明
游戏的流程如图所示。当进行完第3 轮游戏后，4 号玩家会听到2 号玩家告诉他自己的生日，所以答案为3。当然，第3 轮游戏后，2 号玩家、3 号玩家都能从自己的消息来源得知自己的生日，同样符合游戏结束的条件。
备注
对于30%的数据，n≤ 200；
对于60%的数据，n≤ 2500；
对于100%的数据,n≤ 200000。
题解
知识点：并查集，图论。
这道题实际求一个最小环，用dfs也能解决，这里用并查集。
每次增加一条单向边，起点 \(i\) 一定是出度为 \(0\) 的点，即一个集合的祖先。因此，我们用并查集维护一个集合每个点到祖先的距离（链长）。
对于合并 \((i,j)\) ，如果两个点在同一个集合，则 \(j\) 的链长加 \(1\) 即环大小，取所有环最小值即可；如果不在一个集合，则祖先点 \(i\) 的权值应修改为，\(j\) 的权值加 \(1\) ，因为 \((i,j)\) 也是一条边。
路径压缩照常即可。
时间复杂度 \(O(n \log n)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
struct DSU {
vector<int> fa, Size;
explicit DSU(int n) :fa(n + 1), Size(n + 1) {
for (int i = 1;i <= n;i++)
fa[i] = i;
}
void init(int n) {
for (int i = 1;i <= n;i++)
fa[i] = i, Size[i] = 0;
}
int find(int x) {
if (fa[x] == x) return x;
int tmp = fa[x];
fa[x] = find(fa[x]);
Size[x] += Size[tmp];
return fa[x];
}
bool same(int x, int y) { return find(x) == find(y); }
void merge(int x, int y) {
int a = find(x), b = find(y);
if (a == b) return;
Size[x] = Size[y] + 1;//x本身肯定是根节点(结论),指向另一个集合的某点，那么权值则是指向的那个点权值加一
fa[a] = b;
}
};
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
DSU dsu(n);//建立节点指向根节点的带方向的集合，根节点是传递信息的终点，节点权值为到根节点的距离
int ans = n;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
int j;
cin >> j;//注意，i一定是某个集合的根节点，因为出度为0
if (dsu.same(i, j)) ans = min(ans, dsu.Size[j] + 1);//集合根节点指向集合自身的某个点，则出现环，答案为j到根节点的距离加一
dsu.merge(i, j);
}
cout << ans << '\n';
return 0;
}