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解题报告-跳跳棋

时间:2022-12-28 06:22:05浏览次数:35  
标签:node 报告 2a 跳棋 解题 swap 棋子 ans cnt2

跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一个简单的游戏:棋盘上有三颗棋子,分别在 \(a,b,c\)这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成\(x,y,z\) (注意:棋子是没有区别的)。

跳动的规则很简单,任意选一颗棋子,对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过一颗棋子。

写一个程序,首先判断是否可以完成任务。如果可以,输出最少需要的跳动次数。

分析

考虑一个三元组\((a,b,c)(a<b<c)\)可以怎么跳:

  1. \((2a-b,a,c)\)
  2. \((a,c,2c-b)\)
  3. \((b,2b-a,c)(|a-b|<|b-c|)\)
  4. \((a,2b-c,b)(|a-b|>|b-c|)\)

这四种操作里面,容易发现三四操作最多只能存在一种。

容易发现,操作具有可逆性。而操作1,2都导致\((a',b',c')\)边界向外扩张,而只有3,4向内收缩。

突然发现,如果\(|a-b|=|b-c|\),此时只能进行1,2操作,也即进行扩张。而操作1,2可以分为\(b\)向左/右跳的结果。由于是LCA的题,不难想到需要建模。

我们可以由一组\((a,b,2b-a)\)开始不断向外扩展,不妨扩展看看,记\(c=2b-a\)

1次:\((2a-b,a,c),(a,c,2c-b)\)
2次:\((3a-2b,2a-b,c),(2a-b,c,2c-a),(2a-c,2a-b,2c-a),(a,2c-b,3c-2b)\)

好像,它形成了一个树形结构?也即中间棋子向左跳为左儿子,向右跳为右儿子,向内跳的情况为父亲,这样就由\((a,b,c)\)能够到达的所有情况变成了一颗满二叉树。

此时,由于操作的可逆性,容易发现初始状态和终态有解当且仅当他们所在树的树根相同。然后最少操作次数就是二者在树上的距离。

但是容易发现这棵树好像无穷大,根本不可能建立出来好吧。我们先来考虑如何快速求三元组\((a,b,c)\)的根,亦或者说,我们考虑如何快速求解三元组\((a,b,c)\)的第\(k\)级祖先。

数据范围\(10^9\),显然可以卡掉所有复杂度不正确的算法。

考虑这样一个过程,我们优化掉连续向某个方向跳的操作,这个可以通过公式计算:

设\(x_1=b-a,x_2=c-b\),则若\(x_1<x_2\),则可以不断向右跳\(\left\lfloor\frac{x_2-1}{x_1}\right\rfloor\)步。

然后\(x_1'=x_2-x_1\left\lfloor\frac{x_2-1}{x_1}\right\rfloor,x_2'=x_1\)

这是一个类似于计算欧几里得算法的过程,到最终肯定会有一个终态。于是这部分复杂度被优化到了\(O(\log n)\)。

再接着,由于计算树上路径需要LCA,而这棵树的性质决定了我们不可能使用常用LCA算法优化这个过程。但倍增的思想告诉我们,我们可以自底向上地倍增!具体的,先将两个节点调整到同一高度。由于这个算法的存在,可以在\(O(\log n)\)的时间里求出某个节点的\(k\)级祖先,此时就可以食用倍增优化了。总体复杂度\(O(\log^2 n)\)。

事实上,这个复杂度应该远远跑不满才对。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct node{
	int a,b,c;
	void init(){
		cin>>a>>b>>c;
		if(a>b)swap(a,b);if(a>c)swap(a,c);if(b>c)swap(b,c);
	}
	bool operator==(node x){
		return a==x.a&&b==x.b&&c==x.c;
	}
}a,b,fa,fb;
int cnt1,cnt2,ans,l1,l2;
void bezero(node &x){  
    if(x.a>x.b)swap(x.a,x.b);
    if(x.a>x.c)swap(x.a,x.c);
    if(x.b>x.c)swap(x.b,x.c);
}
node get(node a,int k,int &cnt){//得到a的k级父亲 
	node ans=a;
	cnt=0;
	while(k){
	   bezero(ans);
		int x1=ans.b-ans.a,x2=ans.c-ans.b,s;
		if(x1<x2){
			s=min(k,(x2-1)/x1);
			ans.a+=s*x1;
			ans.b+=s*x1;
			k-=s;
		}
		else if(x1>x2){
			s=min(k,(x1-1)/x2);
			ans.b-=s*x2;
			ans.c-=s*x2;
			k-=s;
		}
		else {
			return ans;
		}
		cnt+=s;
	}
	return ans;
}
int main(){
	a.init();b.init();
	fa=get(a,0x3f3f3f3f,cnt1);
	fb=get(b,0x3f3f3f3f,cnt2);
	if(!(fa==fb)){
		cout<<"NO\n";
		return 0;
	}
	cout<<"YES\n";
	if(cnt1>cnt2)swap(a,b),swap(cnt1,cnt2);
	ans+=cnt2-cnt1;
	b=get(b,cnt2-cnt1,cnt2);
	if(a==b){
	    cout<<ans;
	    return 0;
	}
	for(int i=29;i>=0;--i){
		node x=get(a,1<<i,l1),y=get(b,1<<i,l2);
		if(!(x==y)){
			a=x,b=y;
			ans+=1<<(i+1);
		}
	}
	cout<<ans+2;
}

清华集训的题都是神题

标签:node,报告,2a,跳棋,解题,swap,棋子,ans,cnt2
From: https://www.cnblogs.com/oierpyt/p/17009354.html

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