扩展KMP复习小记

简介

KMP大家都耳熟能详，扩展KMP只是一个扩展版而已，字面意思啦！
我记得以前打过这个复习小记的，但是不知为何失踪了。

KMP与扩展KMP的对比

KMP的next[i]表示从1到i的字符串s，前缀和后缀的最长重叠长度。
EXKMP的next[i]表示从1到i的字符串s，和从i到n的字符串st的最长重叠长度。
也就是说KMP是向前的匹配，EXKMP是向后匹配。
扩展KMP问题是KMP问题的补充和加难。

具体内容

重要数组

给定母串S，和子串T。定义n=|S|, m=|T|。
extend[i]=S[i..n]与T的最长公共前缀长度。
next[i]=T[i..m]与T的最长公共前缀长度。

需要线性解决的问题

线性求出extend和next数组。

解决方法

设extend[1..i-1]已经算好，并且在以前的匹配过程中到达的最远位置是p，对应的点是k。（就是说S[k…p]=T[1…extend[k]]，k是1到i-1的匹配中匹配到的最远点对应的位置）。

像KMP一样，假设已经求得了next数组。

根据定义S[k…p]=T[1…extend[k]]，因为k…p覆盖i，所以S[i…p]=T[i-k+1…extend[k]]，因为要与T的前缀匹配，所以还要把T[i-k+1…extend[k]]与前缀匹配才行，因为next[i-k+1]是T从i-k+1位置开始的字符串与T的前缀最长匹配的长度，所以T[1…next[i-k+1]]=T[i-k+1…i-k+next[i-k+1]],因为S[i…p]=T[i-k+1…extend[k]]，p覆盖i，所以extend[i]至少为next[i-k+1],设l=next[i-k+1]。

p=k+extend[k]-1;l=next[i-k+1];

因为现在extend至少为l了，因为利用
现在就要分两种情况了：

fo(i,1,n){
        p=k+extend[k]-1;l=next[i-k+1];
        if(l+i>p){
            j=p-i+1;if(j<0)j=0;
            while(i+j<=n&&s[j+1]==st[i+j])j++;
            k=i;
            extend[i]=j;
        }
        else{
            extend[i]=l;
        }
    }

1、i+l< p：
因为p是目前已经匹配过的地方，l就变成了extend[i]的最大值，否则就违反了next[i]的T从i以后的字符串与T的最长公共前缀。

else{
    extend[i]=l;
}

2、i+l≥p：
因为大于p是还没有匹配过的地方，所以进一步匹配可能可以让答案更大。然后只用往后匹配并更新最远匹配点p的值和对应点k的值。

j=p-i+1;if(j<0)j=0;
while(i+j<=n&&s[j+1]==st[i+j])j++;
k=i;
extend[i]=j;

时间证明

感性证明一下，每个点都只会被访问一次。自然时间复杂度是O(n)。

推荐题目

【GDOI2014】beyond
。。。用的不是很多，就做过这一道题，网上应该很多，O(∩_∩)O~

由于本人是个蒟蒻

目前多扩展KMP知道的也只有这么多了。