数字信号处理--第二章/离散时间信号和离散时间系统

离散时间信号--数字序列

离散时间信号的表示

概述

对于x(n)：n为整数时有对应数值，n非整数时，x(n)没有定义，不可认定为0

单位取样序列δ(n)：n=0时值为1；单位冲激函数δ(t)：n=0时值为∞

正弦型序列

x(n)=Acos(wn+φ)此处的w为数字域频率

模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s

模拟角频率Ω：每秒经历多少弧度，单位rad/s

数字频率w：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad

数字频率与模拟频率相互转化：w=TΩ=2*pi*f/fs。（fs表示取样频率）

从单位圆的角度看，模拟频率是每秒时间内信号旋转的圈数，每一圈的角度变化数为2π。则旋转f圈对应着2π∗f的弧度。

周期序列

以正整数N作为周期，若周期为无理数，则我们认为没有周期。若周期为13/3，则我们认为周期为13。

离散时间系统

线性非移变系统、稳定性、因果性

一个有用的系统应当是一个对信号产生唯一变换的系统。

满足叠加原理的是线性系统。若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关，则称该系统是非移变系统（非时变系统）。一个既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，成为线性非移变系统。

线性非移变系统的重要特性：它的输入序列与输出序列之间存在着线性卷积关系。

由交换律：两个线性非移变系统级联，单位取样响应h(n)为原来两个系统单位取样响应的卷积，且与级联次序无关。

由分配律：并联的两个线性非移变系统，单位取样响应h(n)为原来两个系统单位取样响应之和。

稳定性：对于每个有界输入都产生有界输出。

因果性：因果系统的输出只取决于现时的和过去的输入。对于线性非移变系统来说，满足因果性条件：单位取样响应h(n)=0 (n<0时)。

线性常系数差分方程

线性非移变系统可以用线性常系数差分方程来描述。

一阶后向差分表示：▽y(n)=y(n)-y(n-1)；二阶后向差分表示：▽²  y(n)=▽[y(n)-y(n-1)] = y(n)-2y(n-1)+y(n-2)

引入单位延迟算子D：Dy(n)=y(n-1)，可得▽=1-D

k阶后向差分表示：▽^ky(n)= (1-D)^ky(n)；其中(1-D)是可以展开的

齐次解：x(n)=0时的系统输出，反映系统本身物理特性。

特解：反映系统在输入作用下强迫运动的情况，

卷积法求特解：零状态下，线性非移变系统对输入的响应可以用线性卷积计算，故只要求出单位取样响应，可求出特解。

y(n)=H(D)·x(n)；令x(n)=δ(n)得到的y(n)称为h(n)，即单位取样响应，而y(n)=x(n)*h(n)（卷积）。