剑指 Offer 43 | 1~n整数中的十进制表示中1出现的次数

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例 ：

输入：n = 12
输出：5

输入：n = 13
输出：6

• 限制：
  1 <= n < 2³¹

思路：都是统计1 ~ n中各个位上1出现的次数然后相加，个位上1出现的次数 + 十位上1出现的次数 + 百位上1出现的次数+ … 。

方法一：
计算每个位数上1出现的次数时，先计算 \([0, n / 10 - 1]\) 中1出现的次数，再计算 \([n / 10, n]\) 中1出现的次数。因为 \([0, n / 10 - 1]\)中1出现的次数是有规律的：
个位上1出现的次数：
[0, 9] 1次
[0, 99] 10次
[0, 999] 100次
[0, 9999] 1000次
十位上1出现的次数：
[0, 99] 10次
[0, 999] 100次
[0, 9999] 1000次

所以当 cur = 0 时， 只需要计算 \([0, n / 10 - 1]\) 中 cur 位上1出现的次数 （这里的 n 是指最开始传入的 n；下面的代码中 n 每次循环都要除10，不是原始的 n 了)
当 cur = 1 时， 还要计算 \([n / 10, n]\) 中1出现的次数为 low + 1;
当 cur > 1 时， \([n / 10, n]\) 中1出现的次数刚好为 num;

int countDigitOne(int n) {
    //高位
    int low = 0, count = 0, cur;
    long num = 1; // 表示个位、十位、百位
    while (n != 0) {
        cur = n % 10; // 从个位开始遍历
        n /= 10; //
        count += n * num;
        if (cur == 1) count += low + 1;
        else if (cur > 1) count += num; 
        low += cur * num; // 记录遍历过的位数上的值，当 cur = 1 时，可以组成的 cur 位上为1的数有 low + 1 个。                  
        num *= 10;
    }
    return count;
}

方法二：
理解起来和方法一类似，只是求当 cur >= 1 时，计算 \([n / 10, n]\) 的部分1出现的次数的方式不同
大佬总结出来的数学公式：
\({n} \over {10^{k+1} }\) \(\times 10^k\) + min ( max ( n mod 10^k+1 - 10^k +1, 0), 10^k)
k=0,1,2 分别表示个位、十位、百位...

int countDigitOne(int n) {
    long long num = 1;
    int count = 0;
    while (n >= num) {
        count += (n / (num * 10)) * num; // 注意：n / (num * 10) * num 不等于 n / 10
        count += min(max(n % (num * 10) - num + 1, 0LL), num); // n % (num * 10) - num 为方法一中的low
        num *= 10;
    }
    return count;
}