安全多方计算(1):不经意传输协议

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前言

在安全多方计算系列的首篇文章（安全多方计算之前世今生）中，我们提到了百万富翁问题，并提供了百万富翁问题的通俗解法，该通俗解法可按图1简单回顾。

图1 百万富翁问题通俗解法

百万富翁问题通俗解法场景中，我们可以将Alice和Bob的诉求总结如下：

• Alice：有9个装有物品的箱子，Bob只能打开其中一个箱子看到物品，看不到其他箱子内的物品。

• Bob：不希望Alice知道自己打开的是哪个箱子。

百万富翁问题通俗解法可以通过密码学中的n选1的不经意传输协议（Oblivious Transfer，OT）完美解决。

通过百万富翁问题通俗解法场景描述，对OT协议解决的问题可抽象为：Alice拥有\(n\)条消息\({m_1,…,m_n}\)，Bob想知道其中一条消息\(m_i\)；通过执行OT协议，Bob可以正确获得想要知道的消息\(m_i\)，且无法获得其它\(n-1\)条消息，而Alice无法知道Bob获得的是哪条消息。

OT协议按研究类别区分，可以分为以下3种OT协议：

• 2选1的OT协议（\(2\)条消息中正确解密（选）\(1\)条）
• n选1的OT协议（\(n\)条消息中正确解密（选）\(1\)条）
• OT扩展协议（\(n\)条消息中正确解密（选）\(m\)条，\(m<n\)）

受篇幅所限，本文仅介绍2选1与n选1的OT协议，OT扩展协议则在后续系列文章中进行介绍。

利用RSA加密实现n选1的OT协议

自1981年提出以来，OT协议有多种多样的实现形式，其中最容易理解的是基于RSA公钥算法实现的n选1的OT协议[1]。

RSA加解密过程简介

此处不讲解RSA原理，只介绍RSA加解密过程和用到的参数，便于密码学知识储备不足的读者理解后面的OT协议。

• RSA密钥参数：\(N=p*q\)，\(L=(p-1)*(q-1)\)其中\(p\)和\(q\)为大素数。

• RSA公私钥对：生成\(d\)和\(e\)，满足\(d\)与\(L\)互质，\(e\)与\(L\)互质，且\(d*e(mod L)=1\)，则令\(（d，N）\)为公钥，\(e\)为私钥。

则RSA算法对明文\(m\)（\(m\)为大整数）的加解密过程如图2所示。

图2 RSA算法加解密计算过程

RSA实现n选1的OT协议过程描述

基于RSA公钥算法实现的n选1的OT协议执行过程如图3所示。

图3 基于RSA公钥算法实现n选1的OT协议执行过程

协议执行过程分为4个步骤：

1. Alice有\(n\)条消息，则产生\(n\)个RSA公私钥对，并将\(n\)个私钥保留，\(n\)个公钥发送给Bob。
2. Bob随机产生一个大整数key，假定Bob想要获得第\(t\)条消息，则Bob用收到的第\(t\)个RSA公钥加密大整数key，加密计算结果为\(s\)，Bob将\(s\)发送给Alice。
3. Alice用保留的\(n\)个RSA私钥，依次解密\(s\)，获得\(n\)个解密结果，依次为\({key1,key2,…,keyt,…,keyn}\)；利用对称加密算法，利用\(key1-keyn\)，加密对应的消息\(m1_{mn}\)，得到密文消息\(M1=Mn\)，将\(M1-Mn\)发送给Bob。
4. Bob利用自己掌握的大整数\(key\)作为密钥，对第\(t\)条密文\(Mt\)进行对称解密，则得到想要的第\(t\)条原始明文消息\(mt\)。

n选1的OT协议解决百万富翁问题

将图1中的百万富翁问题和图3中的n选1的OT协议结合，我们可以对图1中的操作步骤做如图4的改造：

• Step1：Alice构造9条明文消息，序号\(<x\)，消息为“0”；否则消息为“1”。

• Step2：Alice与Bob执行9选1的OT协议，解密第7条消息，看到0，\(y<x\)；看到1，\(y≥x\)。

图4 基于n选1的OT协议实现百万富翁问题

协议分析

该协议执行过程可以满足OT协议中Alice和Bob的核心诉求，关键在于第2步和第3步。

• 第3步中，Alice利用\(n\)个私钥逐个尝试解密\(s\)，得到\(key1-keyn\)，由于\(s\)是由Bob利用第\(t\)个公钥加密整数key计算得到的，因此只有keyt=key，但对于Alice来说，\(key1-keyn\)都是大整数，根本无法区分哪个才是Bob掌握的key，实现了Bob的诉求，即Alice无法知道Bob选择的是哪条消息。

• 对于Bob来说，拿到了\(n\)个密文消息\(M1-Mn\)，但是自己只有一个key，此key只能解密消息\(Mt\)，对于其他\(n-1\)条消息则无法解密，实现了Alice的诉求，即Bob只能正确得要Bob想要得到1条消息，无法正确得到其他\(n-1\)条消息。

如果\(n=2\)，则该n选1的OT协议就退化成了2选1的OT协议。

虽然基于RSA实现的n选1的OT协议简单易懂，但是却存在如下缺陷：

• key为0或1时，Alice的诉求无法保证。Bob如果将key指定为0或1，则根据图2中RSA的加解密计算方法，无论私钥\(e\)是否正确，解密后的\(m0=m\)均成立，意味着第3步中，Alice强行解密\(s\)得到的\(key1-keyn\)均等于key（看加密就懂了～），则Bob可以解密所有的消息，获得所有的明文\(m1-mn\)。
• 协议计算效率有待优化。第1步Alice需要产生\(n\)个RSA公私钥对，而RSA公私钥对的产生比较耗时。

为了提高安全性和计算效率，还有基于其他密码学方法的OT协议，如基于离散对数的OT协议，将在本文第四节和第五节中进行介绍。（如果您仅希望简单了解OT协议的原理和能解决的问题，则读到此处足矣，本文后面的内容适合有一定密码学基础读者。）

基于离散对数实现2选1的OT协议

为了优化OT协议计算效率和安全性，学者一般对2选1的OT协议和n选1的OT协议分开进行研究。对于2选1的OT协议，Tung Chou[2]于2015年基于离散对数问题，在DH密钥协商协议的基础上设计的2选1的OT协议，被认为是一个简单清晰的2选1的OT协议。

离散对数简介

离散对数问题通俗理解：有限域\(F_p\)（\(p\)为大素数，\(F_p\)中元素共\(p-1\)个整数，取值\([1,p-1]\)）上的大整数幂乘取模容易计算，即\(a*b mod p=c，a,b\in F_p\)，而计算对数是很困难的，即 \(log_a^c(mod p)=b\)。

离散对数实现2选1的OT协议过程描述

基于离散对数实现2选1的OT协议执行过程如图5所示：

图5 离散对数实现2选1的OT协议执行过程

协议执行过程分为4个步骤：

• Alice有消息\(m0、m1\in F_p\)*，则Alice挑选\(g,a\in F_p\)，并计算\(A=g^a mod p\)，将\(A、g、p\)发送给Bob。
• Bob想要第\(\sigma\)条消息（\(\sigma=0\)或1），Bob挑选\(b\in F_p\)*，并计算\(B=A^\sigma *g^b mod p\)，将B发送给Alice。
• Alice利用\(a、A、B\)，按照图4中的步骤3计算\(C0\)和\(C1\)的值，然后用\(C0\)为密钥，对称加密\(m0\)；用\(C1\)为密钥，对称加密\(m1\)。将加密后的密文\(M0\)和\(M1\)传递给Bob。
  • 这里的密文\(M_0\)和\(M_1\)只有一个是“可用”的，也就是说\(C_0\)和\(C_1\)只有一个是可用的，当\(\sigma =0\)时，\(C_0\)是可用的；当\(\sigma =1\)时，\(C_1\)是可用的。
• Bob利用\(A\)和\(b\)计算解密密钥\(g^{ab} mod p\)，对称解密对应的密文后拿到想要的正确消息。

协议分析

该协议的核心步骤是步骤2和步骤3，对这两步中的参数B、C0、C1进行展开，展开后如图6所示。

图6 2选1的OT协议部分参数展开

从图6的展开式可知，无论\(\sigma =0\)还是\(\sigma =1\)，\(C0\)和\(C1\)始终只有一个为\(g^{ab}\)，而另一个对于Bob而言则不可计算（Bob不知道\(a\)的值），\(g^{ab}\)的计算实质上就是DH密钥协商协议。

对于Alice来说，仅知道\(B、A、g\)，不知道\(b\)的情况下，由于离散对数问题难解，因此是无法推断出\(\sigma =0\)还是\(\sigma =1\)。

与2.2的协议相比，该协议不存在Bob选择特殊的\(b\)会导致密文消息\(M0\)和\(M1\)同时正确解密这一缺陷（只能正确解密其中一个）。

基于离散对数实现n选1的OT协议

本章节将以Wen-Guey Tzeng[3]提出的高效n选1的OT协议为例，讲解如何基于离散对数实现基本的n选1的OT协议。

离散对数实现n选1的OT协议过程描述

基于离散对数实现n选1的OT协议执行过程如图7所示。

图7 离散对数实现n选1的OT协议执行过程

协议执行过程分为4个步骤：

• Alice有\(n\)条消息\({m1,…,mn}\)，\(mi\in G\)(\(G\)代表素数域\(F_p^*\))，挑选\(G\)的两个生成元\(g\)和\(h\)，将\(g,h,p\)发送给Bob。
• 假定Bob想获得第\(t\)条消息，则Bob随机选择大整数\(r\in G\)，并计算\(y=g^r*h^tmod p\)，将\(y\)发送给Alice。
• Alice利用\(y,g,h\)，分别对\(n\)条消息，重复执行图6中左下角的计算步骤，每一次执行都会随机选择大整数\(k_i\in G\)，并结合消息\(mi\)计算\(ai\)和\(bi\)。然后将\(n\)组\((ai,bi)\)发送给Bob。
• Bob拿到\(n\)组\((ai,bi)\)后，利用掌握的大整数\(r\)，计算想要的第\(t\)条消息\(m_t=b_t∕(a_t)^r\)。

协议分析

对于第4步Bob的操作，我们把消息\(m_t\)泛指为\(m_x\)，则对\(m_x\)的计算公式展开后如图8所示。

图8 消息mx的计算公式展开

从图8可以看出，要想获得消息\(m_x\)，要么令\(x=t\)，此时消息为Bob想要获得的消息；要么计算出\(h^{(t-x)*k_x}\)，由于\(k_x\)是Alice的秘密数字，因此保证了Bob不可能正确解密除消息\(m_t\)之外的其余\(n-1\)条消息。

对于Alice来说，虽然知道\(y,g,h\)，但是不知道\(r\)的情况下，由于离散对数问题难解，因此是无法推断出\(t\)的正确值。

与2.2的协议相比，该协议不存在Bob选择特殊的\(r\)会导致\(n\)条消息同时正确解密这一缺陷，同时也不存在需要产生\(n\)对公私钥这一耗时操作。

总结

本文介绍了OT协议和3个基于密码学实现的OT协议实例，并结合百万富翁问题的通俗解法看到了OT协议的应用实例，这样的实例很难看出OT协议的重要性。

其实OT协议是安全多方计算中很重要的一个协议，在安全多方计算系列的首篇文章（安全多方计算之前世今生）中，我们提到，安全多方计算的通用技术路线可以用混淆电路解决，而混淆电路的构建离不开OT协议。因此，下期文章将会讲解如何通过OT协议实现混淆电路，以及如何实现基于混淆电路的通用安全多方计算路线。

参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Oblivious_transfer

[2] Chou T , Orlandi C . The Simplest Protocol forOblivious Transfer[C]// International Conference on Cryptology and InformationSecurity in Latin America. Springer International Publishing, 2015.

[3] Tzeng W G . Efficient 1-out-of-noblivious transfer schemes with universally usable parameters[J]. IEEETransactions on Computers, 2004, 53(2):p.232-240.

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