The 2021 Shanghai Collegiate Programming Contest D. Zztrans 的班级合照

计数dp好题

用组合数想了一下，需要容斥，情况太复杂
用计数dp，\(dp[i][j]\)表示前\(i\)个人有\(j\)个在第一排，并且按照身高遍历i，这样满足了第一个偏序关系（“排成人数相同的两排，每排从左向右身高都不递减”），然后只要保证第二排的人数少于等于第一排的人数，就能满足第二个偏序关系（“且第二排同学的身高不低于第一排对应位置同学的身高”）
状态转移很显然，就是加上所有的\(dp[i - v[i]][j - k]\)，\(k\)是第一排的末尾有多少个当前身高的
最后统计答案还需要乘上对应的阶乘（dp过程只是保证了偏序关系，而次序可以交换）

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define fr first
#define se second
#define et0 exit(0);
#define rep(i, a, b) for(int i = (int)(a); i <= (int)(b); i ++)
#define rrep(i, a, b) for(int i = (int)(a); i >= (int)(b); i --)
#define IO ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
typedef unsigned long long ULL;

const int INF = 0X3f3f3f3f, N = 5000 + 10, MOD = 998244353;
const double eps = 1e-7, pi = acos(-1);

LL dp[N][N]; // dp[i][j] 前i个，j个在第一排 

int fact[N];

inline int add(int a, int b) {
	return (LL)a + b > MOD ? a + b - MOD : a + b;
}

void work() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<int> c(n + 1), v;
	rep (i, 1, n) {
		int x;
		cin >> x;
		c[x]++;
	} 
	rep (i, 1, n) if (c[i]) v.push_back(c[i]);
	fact[0] = 1;
	rep (i, 1, n) fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % MOD;
	
	int sum = 0;
	dp[0][0] = 1;
	rep (i, 0, v.size() - 1) {
		sum += v[i];
		for (int j = min(n / 2, sum); j >= sum - j; j--) {
			for (int k = 0; k <= min(v[i], j); k++) {
				dp[sum][j] = add(dp[sum][j], dp[sum - v[i]][j - k]);
			}
		}
	}
	
	int res = dp[n][n / 2];
	rep (i, 0, v.size() - 1) res = (LL)res * fact[v[i]] % MOD;
	cout << res << endl;
	
}

signed main() {
	IO

	int test = 1;
//	cin >> test;

	while (test--) {
		work();
	}

	return 0;
}