一、数字推理
1.知识储备
100以内的质数
2，3，5，7，11，13，17，19，
23，29，31，37，41，43，47，
53，59，61，67，71，73，79，
83，89， 97
1-30的平方
= 1, , , = 16, = 25, = 36, = 49, = 64, = 81, = 100
= 121, = 144, = 169, = 196, = 225, = 256, = 289, = 324, = 361, = 400
= 441, = 484, = 529, = 579, = 625, = 676, = 729, = 784, = 841, = 900
1-12的立方
= 8, = 9, = 64 , =125, = 216, = 343
= 512, = 729, =1000, =1331, = 1728
1-5 的 5 次方
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 |
| 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 |
| 5 | 25 | 125 | 6255 | 3125 |
2.常见基本数列考点
1.等差数列及其变式
基础知识
题型特征
1.数列往往单调，变化不大，幅度较小：
2.数列不够单调，整体倍数关系不明显，有特殊数出现（如出现：0，小数，负数，平方数）
基本考点
一次方差
两次方差
一次方差与原数列的联系
① - ② = ③
① - ② (加 / 减 / 乘 / 除 / 数位之和) => ③
2.和数列及其变式
基础知识
题型特征
数列不够单调，变化平缓，幅度不大（相邻项数1-4倍）
小数字多，或者中间有 0 出现
基本考点
两项之和
1.加和后 新数列有规律
2.加和后 递推下一项
三项之和（与等差的区别）
3.倍数列及其变式
基础知识
题型特征
单调性明显，变化幅度大
数列倍数关系明显（商），乘积关系明显（积）
基本考点
两项倍数递推，找相邻两项之间的倍数规律
三项乘积递推，找三项之间乘积的递推规律
（前两项与第三项有关）
4.多次放数列
基础知识
题型特征
都是多次方数或者附近有幂次方数
将各数拆分成幂次方形式，找底数和指数的规律
基本考点
基本多次方形式规律
多次放与递推
5.拆分与组合
基础知识
数项组合
两两组合
数项较长，项数较多，整体四则运算没有规律
间隔组合
单调性乱，忽大忽小，有双括号出现（奇数项和偶数项分别有规律）
数字拆分
机械拆分
有多位数和大数据出现，倍数陡增 或者 倍数变化不大， 整体四则运算没有规律
乘积拆分
都是合数有相同因子，倍数关系不明显，或者无其他规律
6.特征数列
基础知识
题型特征
分数和小数数列
基本思路
整体看：当作四则运算
分开看：沿着中间分开上下（左右找规律）
联合看，前项两个部分运算，递推后项的两部分
7.图形类数列
基础知识
圆圈型
中心数字 = 外面数字两两分组运算后的结果
三角型
中心数字 = 外面数字运算后的结果
表格型
九宫格（ 以行或者列找规律）、映射表（找左右两边数据倍数关系）
二、数字运算
1.基础数论和方法
1.数字特性
基础知识
数字特性法
根据所求数据的特征，利用数字的特性 带入排除 的方法
排除性
利用整除，带入排除不符合条件的选项
(所求数据与倍数、分数、百分数、比例有关)
奇偶性
性质
奇奇偶
偶偶偶
奇偶奇
偶奇（偶）偶
奇奇奇
应用
已知两数之和或之差，求两束之差或者之和
不定方程
多个未知数无法全部求解的
①：配参数
②：将其中一个置为 0 （推荐使用）
大数据的整除性快速判定方法
① 判定一个数字是否是 2 或者 5 的整倍数 ：末位偶数；末尾 5 或者 0
② 判定一个数字是否是 4 或者 25 的整倍数：末两位是不是 4；25的倍数
③ 判定一个数字是否是 8 或者 125 的整倍数：末三位是否能整除 8；125
④ 判定一个数字是否是 3 或者 9 的整倍数：各数字之和能否整除3；9
⑤ 判定一个数字是否是 7 或者 11 或者 13 的整倍数：后三位剩下的 能否整除7;11;13
⑥ 判定一个数是否是 6 或者 12 的整倍数：因式分解
2.余数的应用
基础知识
余数的和决定和的余数
余数的差决定差的余数
余数的积（幂）决定积（幂）的余数
==> （23 + 16）/ 5 … 4
==> （23 - 16）/ 5 … 2
3.比例法
基础知识
比例计算
核心: 把比例看作份数，找到一份代表具体的值，根据份数比例转换找出具体对应的实际值
注意：分数可以进行加减。同时注意比例、分数、百分数之间的转换关系
比例统一
题干中如果出现多个比例关系，并且不同比例维度中有一个不是变量，则所有数据可以统一一个比例关系
方法：找到不同比例维度的不变量，找出不变量在不同比例关系的份数，将份数统一成最小公倍数，使得比例维度统一
正反比例
题干中包含 M = A × B 关系，且有一个量是不变量时，另外两个量有一种正或反相关联的关系
M 不变，A 和 B 成反比
A不变，M 和 B 成正比
B不变，M 和 A 成正比
4.赋值法
基础知识
赋值的概念
对计算过程量进行赋特殊值的方式来最大限度的简化运算，提升效率
赋值的应用环境
题干中只有比例关系，无实际数据，可根据比例关系设基础特殊值 （赋分母的公倍数）
题型：比例关系、利润关系、浓度关系、几何问题等
题中有 M = A × B 或者 M = A × B × C 关系，已知其中一个单位量，缺少计算过程 （设不变量为此单位量的公倍数）
题型：工程问题、行程问题、浓度问题、平均数等
5.平均数
基础知识
平均数概念
平均数总数个数
平均数基准数平均差
等差数列与平均数
等差数列公式 ：
中项法：平均数 =
十字交叉法
题干中存在关系式 A × a + B × b = （A + B）× r ==》
题型：平均数、浓度、利润率、增长率、折扣、比重等混合问题
案例 ： 30% 浓度溶液 与 20% 浓度溶液 混合为 28% 浓度溶液，求比例
(30 - 28 = 2 ): (28 - 20 = 8) = 1 : 4，得到的时浓度的比例
浓度溶质溶液，浓度的反比为分母的比例，即溶液的比例为 4:1
2.应用题型
1.利润问题
基础知识
基本公式
利润售价进价
利润率利率进价
折扣打折后的售价打着前的售价
利润率利润成本售价成本成本售价成本
利润成本利润率售价利润率利润率
单例本息和本金（利率期数）
复利本息和本金利率
常用方法
公式法
赋值法
十字交叉法
2.行程问题
基础知识
1.普通行程问题
基本关系式：
路程速递时间（）
平均速度总路程时间 ==》 等距离平均速度
常用解题方法
① 直接计算
② 方程法：设置未知数
③ 赋值法：设置特殊值方便计算
④ 比例法：有一个量固定不变，另外两个量有正反比关系
2.相遇和追击问题
直线相遇和追击问题
① 直线相遇：两人从两端同时相向出发，相遇时：路程和速度和时间
② 直线追击：两人从两端同时同向出发，追上时：路程和速度差时间
甲、乙走过的总路程 总时间 甲的路程 乙的路程 出发到第一次相遇 S t 甲 乙 出发到第二次相遇 3S 3t 甲 乙 出发到第三次相遇 5S 5t 甲 乙 出发到第n次相遇 （） （） （）甲 （）乙
环形相遇追击问题
① 环形相遇：两人从同一点反向出发，相遇一次，，走一圈，相遇n次，合走n圈
② 环形追击：两人从同一点同向出发，追上一次，多走一圈，追上n次，多走n圈
3.牛吃草问题
追击：（牛每天吃掉的草量 - 草每天新涨的量）× 吃草天数 = 草地原有的草
相遇：（牛每天吃掉的草量 + 草每天减少的量）× 吃草天数 = 草地原有的草
核心公式 （） 或者 （）
S ：操场原有的草量
N：牛的头数
x：草每天的生长量
T：吃草的时间
模拟类型：牛吃草、羊喝水、水池放水、资源开采、排队买票等等
4.流水行船问题
关系式：
顺水速度 = 船速 + 水速 ；
逆水速度 = 船速 - 水速
船静水速度 = （顺水速度 + 逆水速度） ÷ 2
水速 = （顺水速度 - 逆水速度） ÷ 2
类似题型：扶梯问题
5.时钟问题（做题时间较长，如果复杂直接放弃）
时针速度 = 0.5 度 / 分钟
分针速度 = 6 度 / 分钟
秒针速度 = 360 度 / 分钟
（一般探讨时间与路程(角度)之间的关系）
例题（待拓展）：
1.《EPI 理科》 P_36 T_11 两次相遇单边型题目
工程问题
基础知识
普通工程
题目中一般给出总量、效率、时间其中至少两个量的具体值或者变化关系
基本关系式：工作总量时间效率
基本方法：
直接计算或者方程法：设置未知数、根据题干中的等量关系直接计算
比例法：
如果工作量不变，效率与时间成反比
如果时间不变，效率与工作量成正比
如果效率不便，时间与工作量成正比
合作工程
题目中一般给出多个不同个体完成时间，求完成所需的时间
基本关系式：
合作是的总效率 = 各部分效率之和
工作总量 = 各个部分工作量之和 = （各部分效率 × 各自时间之和）
基本方法
赋值法
交替合作
题目中一般给出不同个体在单独时间里完成的时间，求最终完成所诉的时间
基本方法：
找出循环周期，计算出每个周期内的工作量，算出循环时间
① 设工作总量为a，b的最小公倍数
② 求出甲乙各自的工作效率
③ 求出一个合作周期的工作量
④ 计算完成工作量所需的时间
排列组合和效率问题
基础知识
基本计算原理
① 分类 (加法)
② 分步（乘法）
排列组合
排列：与顺序有关
（）（）
组合：与顺序无关
常用方法
优限法：有限考虑有限制条件的元素
捆绑法：有元素有相邻要求是，将其捆绑成一个进行安排，最后考虑内部顺序
插空法：如果元素有不相邻要求，将其插入其他元素的空隙中
逆向思维：分配情况较多的时候，可以从反面入手
圆桌排列：n个人的圆桌，排列有
错位重排
有n封信和n个信封，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法总数的计算问题
n封信的错位重排数为：
公式：
隔板模型
有n个相同的元素，分给m个不同的对象，每个对象至少分1份，有多种不同情况的分法
将n-1的板 插入 m-1 空袭中，一共有：
例题：
例一：隔板模型案例
10个相同的小球，放入3个不同的盒子里
① 每个盒子至少药房一个球 则有 种方法
② 每个盒子至少方两个球，则有 种方法
解析：先各放一个，再隔板
③ 盒子编号1，2，3，要求每个盒子放入的球不少于自己的编码，则有 种
第一个先放0个，第二个先放1个，第三个先放2个，再隔板
容斥问题（如果需要画图比较花时间）
基础知识
定义
一类对事物进行分类的过程中会出现重复或者遗漏的计数问题
容斥原理
核心，每个区域只能计数一次
方法
画图
公式法
两集合容斥
三集合容斥
公式①
公式②
逆向思维
若让符合条件的元素少，则让不符合条件的元素尽可能多
公式总结：
①
②
③
最值问题
基础知识
和定最值
当几个数的总和一定时，求其中某个数最大值或者最小值
解题思路
逆向思维：当总和固定式，要让某个量最大，则其他的尽量小
反之，要让某个量最小，其他的尽量大
① 构造序列：所有主体按名次排列，找出主体
② 确定数值：根据条件，找出所有名次对应数值
③ 加和求解：根据总和一定，设所求为X，列方程求解
注意：如果能根据体感条件确定所求名词中有哪些可以平均分配，用总和求出个数求出平局数进行分配，然后将剩下的按条件进行分配
抽屉原理
1）把多余的n个物品放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物体 ≥ 2.
2）将多余 m × n 件物品任意放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物品件数 ≥ m + 1
三大元素要件：物体数、抽屉数、至少结果数
已知物体和抽屉数，求结果数（很少考）
至少结果数 = 物体数 ÷ 抽屉数的商 + 1
已知抽屉数和结果数，求物体数（常考）
（结果数 - 1） × 抽屉数 + 1
最不利原则求物体数： 最不利情况 + 1
已知物体数和结果数，求抽屉数（很少考）
抽屉数 = 物体数 ÷ （结果数 +1 ）
几何问题
基础知识
面积和体积
三角形面积 :
长方形面积： 长方体体积
正方形面积： 正方体体积
梯形面积：
圆柱体积：
圆锥体积：
圆的面积：
集合性质和结论
三角形
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
等比例缩放
一个几何图形的长度变为原来的 m 倍，面积变为原来的 倍，体积变为原来的 倍
几何最值
平面图形中
周长一定，越接近圆，面积越大
面积一定，越接近圆，周长越小
立体图形中
表面积一定，越接近球，体积越大
体积一定，越接近于球，表面积越小
方块切割和涂色
分割块数 27 64 125 … n × n × n 三面有色 8 8 8 … 8 二面有色 12 24 36 … –12个棱 一面有色 6 24 54 … —6个面 没有颜色 1 8 27 …
日期和年龄问题
基础知识
日期问题
平年
365 天；52周 + 1
闰年
366 天；52周 + 2
闰年
① 不是100 倍数，被4整除
② 100 倍数 被 400 整除
大月：1，3，5，7，8，10，12
小月：4，6，9，11
2月：28（29）
大月份 一个月内，5个星期数，1，2，3号开头
小月份，一个月内，5个星期数，1，2号开头
年龄问题
一般情况下，任意两个人增长或较少的年龄相同
一般情况下，无论时间怎么变化，任意两人的年龄差不变
方法：带入排除，列表，方程法，画时间轴
补充
A 对 B 说：我和你一样大，你才 X 岁，这里可推出：(X > Y)
B 对 A 说：我和你年龄相同时，你有 Y 岁
A 年龄 =
B 年龄 =
三、思维策略
列式计算
混合四则运算
基础知识
尾数法
凑整法
拆分法
提公因式
换元法
整除
1-9 的幂次方位数变化规律
① 1，5，6任何次幂不变
② 以 “2”： 为周期变化的有 4，9
尾数变化规律：4，6，4，6…..
尾数变化规律：9，1，9，1…..
③ 以“4”：为周期变化规律
：尾数变化规律：2，4，8，6，2….
：尾数变化规律：8，4，2，6，8….
：尾数变化规律：3，9，7，1，3….
：尾数变化规律：7，9，3，1….
补充
数列求和运算
基础知识
等差数列
求和：
求项数：
回文数列求和（需要为连续的自然整数）
等比数列求和
平方数列求和
其他数列求和
裂项公式
定义运算和比较大小（略）
统筹问题
统筹时间问题
独木桥问题
在漆黑的夜里，一共只带了一只手电筒，而桥窄的只能够让两人同时通过，如何设计一个方案，让所有人过桥的总时间最短
将时间从小到大排列
四人过桥：时间从大到小分别 × 1 3 0 1 然后加和
五人过桥：时间从大到小分别 × 2 3 1 0 1 然后加和
四人过桥：时间从大到小分别 × 2 1 1 1 然后加和
五人过桥：时间从大到小分别 × 3 1 1 1 1 然后加和
例题
例一：独木桥
四个人只有一个手电筒，路上一定要用手电筒，四人从A 到 B 地最快所需时间如下：甲需要6分钟，乙需要9分钟，丙需要24分钟，丁需要30分钟，走得快的人要等走得慢的人，请问他们四人全部从A 走到B最短需要多长时间
1 3 0 1
6 9 24 30
6 + 27 + 0 + 30 = 63 分钟
排队取水问题
几个人排队大水，每个人用时不同，每次只能让一个人打水，如何安排时间顺序，使得所有人打水时间和等待时间的总时间最少的问题
四人打水 + 等待时间 =
五人打水 + 等待时间 =
打水等待时间最小
四人打水等待时间 =
五人打水 + 等待时间 =
烙饼问题
一张锅能放m张饼，每张饼两面都需要烙，正面时间a，反面时间b，则烙好n张饼所需要的时间至少是多少
统筹计数问题
船工渡河问题（青蛙跳井问题）
N人过河，需要a个人划船，每船可载m个，则所有人渡过河的次数为 (不为整数，进一取整)
例题
例一: 青蛙跳井
现有一口高20米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度为5米，由于井壁比较光滑，青蛙每跳5米下滑2米，请问这只青蛙几次能跳出此井
空瓶换水
已知N个啤酒空瓶可换一瓶啤酒，假设某人有X个啤酒空瓶，问他最多能喝多少瓶啤酒
思路：N个啤酒瓶可换一瓶啤酒，X个啤酒瓶最多可以喝到 (取整数)
例题
例一：空瓶换水
某店规定，喝完酒后，可用四个空瓶换一瓶酒，张明买了21瓶酒，问他最多可以喝多少瓶
找次品问题
天平找次品
M个金币，其中一个次品，重量比正品轻，则用天平找出所需次品的最小次数N
称重找次品
一次即可
天平称重
称出的重量可以当砝码
数学模型
鸡兔同笼
今鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问：鸡兔各几只
① 方程法
② 假设法
假设法
设全是兔子：
设全是鸡：
③ 十字交叉发
例题
例一：鸡兔同笼
某公司有2个教室，均有 5排座位，甲教室每排可坐 10人，乙教室每排可坐9人。两教室共举办培训 27 次，均座无虚席，当月培训总计1290人次，甲教室一共举办了多少次培训
设全是甲举办的：乙教室举办次数：（50 × 27 - 1290 ） ÷ （50-45） = 12
甲：27 -12 = 15
植树问题
直线
两端植树公式：棵树 = 间隔数 + 1
一端植树公式：棵树 = 间隔数
两端不植树：棵树 = 间隔数
闭合线路
棵树 = 间隔数
总长 = 棵树 × 间隔
变形
走楼梯、锯木头、剪绳子
折绳子问题
一根绳子对折N次后，绳子应该是段
连续对着N次，剪M刀，则绳子被剪成
方阵问题
实心方阵总人数 = 最外层每边人数的平方
空心方阵总人数 = （最外层每边人数 - 层数）× 层数 × 4
每一层总人数 = （每层每边人数 - 1 ）× 4
去掉一行、一列的总人数 = 去掉的，每边人数 × 2 - 1
外一层人数总比内一层总人数多 8
博弈取数
一堆n个物品，两人轮流从这堆物品种取物，规定每次至少取一个，最多取M个，最后取完者获胜。
保留给对手 m + 1的倍数即可获胜，即取 的余数
比赛问题
淘汰赛
单败淘汰
产生冠军场次 = 队伍数列 - 1
双败淘汰
产生冠军场次 = 2n - 2 或 2n - 1 （n为队伍数）
循环赛(n为队伍数)
单循环
双循环
资料分析
增长性指标
常用公式
基期 = 现期值 ÷ （1 + 增长率）
现期值 = 基期值 × （1 + 增长率）
增长量 = 现期值 ÷ （1 + 增长量） × 增长率
间隔增长
隔年增长率：间隔一年的增长率，如 “ 2020 年相比于 2018年增长…”
如果第一年的基期值为A，第二年相对于第一奶奶的增长率为 r1% , 第三年相对于第二年的增长率为 r2%，则第三年相比第一年增长率则称为 隔年增长率
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