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2192. 运输问题

\(W\) 公司有 \(m\) 个仓库和 \(n\) 个零售商店。

第 \(i\) 个仓库有 \(a_i\) 个单位的货物；第 \(j\) 个零售商店需要 \(b_j\) 个单位的货物。

货物供需平衡，即\(\sum\limits_{i=1}^{m}a_i=\sum\limits_{j=1}^{n}b_j\)。

从第 \(i\) 个仓库运送每单位货物到第 \(j\) 个零售商店的费用为 \(c_{ij}\)。

试设计一个将仓库中所有货物运送到零售商店的运输方案。

对于给定的 \(m\) 个仓库和 \(n\) 个零售商店间运送货物的费用，计算最优运输方案和最差运输方案。

输入格式

第 \(1\) 行有 \(2\) 个正整数 \(m\) 和 \(n\)，分别表示仓库数和零售商店数。

接下来的一行中有 \(m\) 个正整数 \(a_i\)，表示第 \(i\) 个仓库有 \(a_i\) 个单位的货物。

再接下来的一行中有 \(n\) 个正整数 \(b_j\)，表示第 \(j\) 个零售商店需要 \(b_j\) 个单位的货物。

接下来的 \(m\) 行，每行有 \(n\) 个整数，表示从第 \(i\) 个仓库运送每单位货物到第 \(j\) 个零售商店的费用 \(c_{ij}\)。

输出格式

第一行输出最少运输费用。

第二行输出最多运输费用。

数据范围

\(1 \le m \le 100\),
\(1 \le n \le 50\),
\(1 \le a_i \le 30000\),
\(1 \le b_i \le 60000\),
\(1 \le c_{ij} \le 1000\)

输入样例：

2 3
220 280
170 120 210
77 39 105
150 186 122

输出样例：

48500
69140

解题思路

费用流

建图：建立源点 \(s\) 和汇点 \(t\)，源点向仓库连边，容量为仓库库存，费用为 \(0\)，所有商店向汇点连边，容量为商店需求，费用为 \(0\)，所有仓库向商店连边，容量足够大，费用为从商店将货物移到该商店的单价，最后求解从 \(s\) 到 \(t\) 的费用流即为所求，\(\color{red}{为什么？}\)不能发现，最后一定是满流的状态，从仓库流到商店的流量表示向该商店出多少货，费用即为单价乘以流的量，可行流和实际问题是一一对应的

设最大流为 \(f\)，\(k\) 为 spfa 算法常数，则：

• 时间复杂度：\(O(knmf)\)

代码

// Problem: 运输问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2194/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=155,M=(5005+N)*2,inf=1e9;
int m,n,S,T;
int h[N],e[M],ne[M],f[M],w[M],idx;
int d[N],incf[N],q[N],pre[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
    int hh=0,tt=1;
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    memset(incf,0,sizeof incf);
    q[0]=S,d[S]=0,incf[S]=inf;
    while(hh!=tt)
    {
        int x=q[hh++];
        if(hh==N)hh=0;
        st[x]=false;
        for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
        {
            int y=e[i];
            if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
            {
                d[y]=d[x]+w[i];
                pre[y]=i;
                incf[y]=min(incf[x],f[i]);
                if(!st[y])
                {
                    q[tt++]=y;
                    if(tt==N)tt=0;
                    st[y]=true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T]>0;
}
int EK()
{
	int cost=0;
	while(spfa())
	{
		int t=incf[T];
		cost+=t*d[T];
		for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])
			f[pre[i]]-=t,f[pre[i]^1]+=t;
	}
	return cost;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&m,&n);
    S=0,T=m+n+1;
    int a,b,c;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	scanf("%d",&a);
    	add(S,i,a,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%d",&b);
    	add(i+m,T,b,0);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    	for(int j=1;j<=n;j++)
    	{
    		scanf("%d",&c);
    		add(i,j+m,inf,c);
    	}
    printf("%d\n",EK());
    for(int i=0;i<idx;i+=2)
    {
    	f[i]+=f[i^1],f[i^1]=0;
    	swap(w[i],w[i^1]);
    }
    printf("%d",-EK());
    return 0;
}