813. 最大平均值和的分组 ----- 动态规划

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10-6 内被视为是正确的。

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释:
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20.
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9].
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.
示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000
 

提示:

1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 104
1 <= k <= nums.length

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/largest-sum-of-averages
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class Solution {
public:
    double largestSumOfAverages(vector<int>& nums, int K) {
        int n = nums.size();

        // 前缀和优化
        vector<double> sum(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
        }

        // dp[i][k] 表示：将 nums 中的前 i 个数分成 k 个子数组的最大平均值总和。
        vector<vector<double>> dp(n + 1, vector<double> (K + 1));

        // base case: k = 1，如果分一组
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][1] = sum[i] / i;
        }

        // dp
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int k = 2; k <= K; k++) {
                for (int j = 1; j < i; j++) {
                    // 求 [j, i - 1] 中的平均值
                    double avg = (sum[i] - sum[j]) / (i - j);
                    dp[i][k] = max(dp[i][k], dp[j][k - 1] + avg);
                }
            }
        }

        return dp[n][K];
    }
};