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2785. 信号增幅仪

无线网络基站在理想状况下有效信号覆盖范围是个圆形。

而无线基站的功耗与圆的半径的平方成正比。

现给出平面上若干网络用户的位置，请你选择一个合适的位置建设无线基站....

就在你拿起键盘准备开始敲代码的时候，你的好朋友发明家 SHTSC 突然出现了。

SHTSC 刚刚完成了他的新发明——无线信号增幅仪。

增幅仪能够在不增加无线基站功耗的前提下，使得有效信号的覆盖范围在某一特定方向上伸长若干倍。

即:使用了增幅仪的无线基站覆盖范围是个椭圆，其功耗正比于半短轴长的平方。

现给出平面上若干网络用户的位置，请你选择一个合适的位置建设无线基站，并在增幅仪的帮助下使所有的用户都能接收到信号，且无线基站的功耗最小。

注意:由于 SHTSC 增幅仪的工作原理依赖地磁场，增幅的方向是恒定的。

输入格式

第一行一个整数:\(n\)。平面内的用户个数。

之后的 \(n\) 行每行两个整数 \(x, y\)，表示一个用户的位置。

第 \(n+2\) 行一个整数:\(a\)。表示增幅仪的增幅方向，单位是度。表示增幅仪的方向是从 \(x\) 正方向逆时针转 \(a\) 度。

第 \(n+3\) 行一个整数:\(p\)。表示增幅仪的放大倍数。

输出格式

输出一行一个实数，为能够覆盖所有用户的最小椭圆的半短轴长，四舍五入到三位小数。

数据范围

\(1 \le n \le 50000\),
\(0 \le a < 180\),
\(1 \le p \le 100\),
\(0 \le |x|,|y| \le 2 \times 10^8\)

输入样例：

2
1 0 
-1 0 
0 
2

输出样例：

0.500

解题思路

最小覆盖圆

求最小椭圆覆盖，且该椭圆还要有方向，不妨先将所有的坐标按照反方向旋转，然后求解的便是不带方向的最小覆盖椭圆，由椭圆的方程：\(\frac{x^2}{p^2}+y^2=1\)，不妨再将所有的坐标做如下变换：\(x'=\frac{x}{p},y'=y\)，则椭圆方程便正好对应圆的方程，最小椭圆覆盖问题便转换为最小圆覆盖问题

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

// Problem: 信号增幅仪
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2787/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=5e4+5;
const double eps=1e-12,pi=acos(-1);
typedef pair<double,double> PDD;
int n;
double a,p;
PDD q[N];
struct Circle
{
	PDD p;
	double r;
};
PDD operator+(PDD a,PDD b)
{
	return {a.fi+b.fi,a.se+b.se};
}
PDD operator/(PDD a,double t)
{
	return {a.fi/t,a.se/t};
}
PDD operator-(PDD a,PDD b)
{
	return {a.fi-b.fi,a.se-b.se};
}
PDD operator*(PDD a,double t)
{
	return {a.fi*t,a.se*t};
}
double operator*(PDD a,PDD b)
{
	return a.fi*b.se-b.fi*a.se;
}
int dcmp(double x,double y)
{
	if(fabs(x-y)<eps)return 0;
	if(x<y)return -1;
	return 1;
}
double get_dist(PDD a,PDD b)
{
	return sqrt((a.fi-b.fi)*(a.fi-b.fi)+(a.se-b.se)*(a.se-b.se));
}
PDD rotate(PDD a,double angle)
{
	return {a.fi*cos(angle)+a.se*sin(angle),-a.fi*sin(angle)+a.se*cos(angle)};
}
pair<PDD,PDD> get_line(PDD a,PDD b)
{
	return {(a+b)/2,rotate(b-a,pi/2)};
}
PDD get_line_intersection(PDD p,PDD v,PDD q,PDD w)
{
	PDD u=p-q;
	double t=w*u/(v*w);
	return p+v*t;
}
Circle get_circle(PDD a,PDD b,PDD c)
{
	auto u=get_line(a,b),v=get_line(a,c);
	PDD p=get_line_intersection(u.fi,u.se,v.fi,v.se);
	return {p,get_dist(p,a)};
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&q[i].fi,&q[i].se);
    scanf("%lf%lf",&a,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++)q[i]=rotate(q[i],a/180*pi),q[i].fi/=p;
    random_shuffle(q+1,q+1+n);
    Circle c={q[1],0};
    for(int i=2;i<=n;i++)
    	if(dcmp(c.r,get_dist(c.p,q[i]))<0)
    	{
    		c={q[i],0};
    		for(int j=1;j<i;j++)
    			if(dcmp(c.r,get_dist(c.p,q[j]))<0)
    			{
    				c={(q[i]+q[j])/2,get_dist(q[i],q[j])/2};
    				for(int k=1;k<j;k++)
    					if(dcmp(c.r,get_dist(c.p,q[k]))<0)
    						c=get_circle(q[i],q[j],q[k]);	
    			}
    	}
    printf("%.3lf",c.r);
    return 0;
}