清北学堂考前冲刺D1

长春花

给定一个素数P，对每个0≤x＜p，设f(x)表示一个最小的非负整数a，使得存在一个非负整数b，满足（a * a+b * b)%p=x

现在，你想要求max{f(0),f(1),······f(p-1)}的值

题解

这道题无序，是打表法。不难想到从小到大枚举a，合理即退出。关键在于预处理b*b(%p条件下的)的情况因为b实际上是所有f共用的，所以可以预处理，a的上界比较小，实际复杂度不高。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define  rt register int 
const int N=5e5+50;
int st[N],p,b,mx;
int main()
{
	cin>>p;
	for(rt i=0;i<p;++i)
		st[1ll*i*i%p]=1;
	for(rt i=0;i<p;++i)
	{
		for(rt a=0;a<p;++a)
		{
			b=(i-1ll*a*a+p)%p;
			if(st[b]){
				mx=max(a,mx);
				break;
			}
		}
	}
	cout<<mx<<endl;
}

紫罗兰

给你一个无向图，求最小环的个数

//55pts暴力
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int edge[305][305];
int dis[305][305];
int res;
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j) edge[i][j]=dis[i][j]=1e8;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,w;
		scanf("%d%d",&u,&v); 
        edge[u][v]=edge[v][u]=1;
        dis[u][v]=dis[v][u]=edge[u][v];
    }
    int ans=5e8;
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<k;i++)
            for(int j=i+1;j<k;j++)
			{
//				printf("i:%d j:%d k:%d\n",i,j,k);
//				printf("ans:%d\n",ans);
//				printf("now:%d\n",dis[i][j]+edge[j][k]+edge[k][i]);
            	if(ans>(dis[i][j]+edge[j][k]+edge[k][i]))
            	{	
//            		printf("change\n");
            		ans=dis[i][j]+edge[j][k]+edge[k][i];
            		res=1;
				}else if(ans==dis[i][j]+edge[j][k]+edge[k][i]) ++res;
			}
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    }
    if(ans==1e8) printf("0\n");
    else printf("%d\n",res);
    return 0;
}
/*
4 5
1 2  
1 3 
1 4 
2 4
3 4 
*/

正解

利用了所有边权都是一的性质。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6005;
int n, m, dist[N], ways[N], len = 0x3f3f3f3f;
long long cnt = 0;
vector<int> G[N];
void work(int s) {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    memset(ways, 0, sizeof ways);
    queue<int> que;
    que.push(s);
    dist[s] = 0;
    ways[s] = 1;
    while (!que.empty()) {
        int x = que.front(); que.pop();
        for (int y : G[x]) {
            if (dist[x] == dist[y] || dist[x] + 1 == dist[y]) {//dist[x]==dist[y]对应奇数边图，后者为偶数边图 
                int cyc = dist[x] + dist[y] + 1;//1是u-->v 
                long long c = ways[x] * ways[y];//乘法原理 
                if (cyc < len) {//是否为最小环 
                    len = cyc;
                    cnt = c;
                }
                else if (cyc == len) {
                    cnt += c;
                }
            if (dist[y] > dist[x] + 1) {//维护dist，重新加入队列 
                dist[y] = dist[x] + 1;
                ways[y] = ways[x];
                que.push(y);
            }
            else if (dist[y] == dist[x] + 1) {//如果是偶数边图 
                ways[y] += ways[x];//？ 
            }
        }
    }   
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
    }
    for (int x = 1; x <= n; ++x) {//所有点都要试一次 
        work(x);
    }
    if (len % 2) {
        cnt /= len;
        cnt /= 2;
    }
    else {
        cnt /= len;
    }
    cout << cnt << "\n";
}