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树形dp真的是太有意思啦！

时间：2022-11-09 18:11:57浏览次数：45  
标签：有意思 le int max 树形 maxn siz 节点 dp

P3047 [USACO12FEB]Nearby Cows G

题意：

给你一棵 \(n\) 个点的树，点带权，对于每个节点求出距离它不超过 \(k\) 的所有节点权值和 \(m_i\)。

\(1\le n\le 1e5,1\le k\le 20 ,0\le c_i \le 1e3\)

解题思路：

一眼换根 \(\operatorname{dp}\)。问题是该如何设状态。

考虑设 \(f_{u,j}\) 为所有距离 \(u\) 节点 \(j\) 长度的权值和，对于第一次 \(\operatorname{dfs}\)，显然应该如下转移：

\[f_{u,j}=\sum_{v\in son_u}f_{v,j-1} \]

（子树中距离 \(v\) 节点 \(j-1\) 长度的点即为距离 \(u\) 节点 \(j\) 长度的点）

对于第二次 \(\operatorname{dfs}\)，我们已经知道了对于每个节点子树中的贡献，接下来应该计算子树之外的贡献。因此对于节点 \(u\)，应该将子树中包含 \(v\) 节点的贡献减去，然后再让 \(v\) 节点加上此时 \(u\) 的其他子树和父亲的贡献，得到的就是最终答案。注意这某一子树搜索完之后要将 \(f_u\) 的状态恢复。

转移式为：

\[f_{u,j}=f_{u,j}-f_{v,j-1} \\ f_{v,j}=f_{v,j}+f_{u,j-1} \]

对于每个节点 \(u\)， 答案为 \(\sum_{j=0}^{k}f_{u,j}\)。

代码：

code 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define Reg register
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=101000;
int n,K,cnt,head[maxn],a[maxn];
int dep[maxn],ans[maxn];
int f[maxn][30];
struct ED{
    int nxt,to;
}e[maxn<<1];
inline int read(){
    int s=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return s*w;
}
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
inline void dfs(int u,int fa){
    f[u][0]=a[u]; 
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        for(Reg int j=K;j>=1;j--) f[u][j]+=f[v][j-1];
    }
}
inline void dfs_2(int u,int fa){
    for(Reg int i=0;i<=K;++i) ans[u]+=f[u][i];
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        for(Reg int j=K;j>=1;j--) f[u][j]-=f[v][j-1];
        for(Reg int j=K;j>=1;j--) f[v][j]+=f[u][j-1];
        dfs_2(v,u);
        for(Reg int j=K;j>=1;j--) f[v][j]-=f[u][j-1];
        for(Reg int j=K;j>=1;j--) f[u][j]+=f[v][j-1];
    }
}
int main(){
    n=read(),K=read();
    for(Reg int i=1;i<=n-1;++i){
        int x=read(),y=read();
        add(x,y),add(y,x);
    }
    for(Reg int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    dfs(1,0),dfs_2(1,0);
    for(Reg int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]);    
    return 0;
}






P1272 重建道路

题意：

给定一棵 \(n\) 个节点的树，询问使包含 \(P\) 个节点的连通块与这棵树分离所需要砍掉的最小边数。

$1\le n\le 150,1\le P\le n $

解题思路：

设计状态是关键...不然就会像某人一样死活调不出来，连自己假没假都不知道。

设 \(f_{u,t}\) 为在 \(u\) 节点的子树中砍掉 \(t\) 个节点所需砍掉的最小边数，易知当 \(u\) 不为根节点时 \(f_{u,siz_u}=1\)，以及任意情况下都有 \(f_{u,0}=0\)。其他初始化为 \(inf\)。

接下来思考如何转移以及计算答案。

转移比较好说，是一般树形背包的套路，即：

\[f_{u,t}=\min(f_{u,t},f_{u,t-j}+f_{v,j}) \]

计算答案则是：

\[ans=\min(ans,f_{u,siz_u-P}+f_{u,siz_u}) \]

（即砍掉子树中的一些点再分离出来整棵子树）

代码：

code 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define Reg register
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=210,inf=2147483100;
int n,K,cnt,ans=inf,siz[maxn],head[maxn];
int f[maxn][maxn];
struct ED{
    int to,nxt;
}e[maxn<<1];
//定义状态很重要
inline int read(){
    int s=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return s*w;
}
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
inline void dfso(int u){
    siz[u]=1;
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        //printf("%d %d\n",u,v);
        dfso(v);
        siz[u]+=siz[v];
    }
    f[u][siz[u]]=1;
    f[u][0]=0;
}
inline void dfst(int u){
   // printf("%d\n",u);
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        //printf("%d %d\n",u,v);
        dfst(v);
        for(Reg int t=siz[u]-1;t;--t)
            for(Reg int k=0;k<=t;++k)
                f[u][t]=min(f[u][t],f[u][t-k]+f[v][k]);
    }
    if(siz[u]>=K) ans=min(ans,f[u][siz[u]-K]+f[u][siz[u]]);
}
int main(){
    n=read(),K=read();
    //printf("1\n");
    for(Reg int i=1;i<n;++i){
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);
    }
    //printf("1\n");
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    //memset(minn,0x3f,sizeof(minn));
    dfso(1);
    f[1][siz[1]]=0;
    dfst(1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}






P3761 [TJOI2017]城市

题意：

给定一棵 \(n\) 个节点的树，边带权，可以断开一条边再在另外一个位置连上一条边权相同的边（依然要保证是棵树），求进行一次操作后两个节点最大距离的最小值。

$1\le n\le 5e3 $

解题思路：

盲猜有人想用二分

事实上二分根本不可写。

发现断开的这一条边一定会是直径上的边，否则距离最大的依然会是直径。

继续发现断开某一条边后树会分为两个连通块，再连边肯定是于两个联通块之间连边。

枚举直径上的一条边 \((u,v,w)\) ，考虑答案如何被更新：

  1. \(u\) 所在连通块的两点之间最大距离。

  2. \(v\) 所在连通块的两点之间最大距离。

  3. 块内所有点关于 \(x\) 的最大距离加上块内所有点关于 \(y\) 的最大距离加上 \(w\)。

（其中 \(x\) 属于 \(u\) 所在的连通块，\(y\) 属于 \(v\) 所在的连通块，枚举可得）

三者取 \(\max\) ，再对 \(ans\) 取 \(\min\) 即可。

好，发现可以无脑树剖搞了，这样的复杂度大概为 \(O(n^3 \log^2 n)\)，可以拿到 \(\operatorname{30pts}\)。

能不能再给力一点儿？

好像意识到了什么。

\(u\) 所在连通块的两点之间最大距离。

\(v\) 所在连通块的两点之间最大距离。

显然是树的直径。

块内所有点关于 \(x\) 的最大距离加上块内所有点关于 \(y\) 的最大距离加上 \(w\)。

因为要使答案最小，而且两个连通块选什么点互不影响，我们分明可以选择对块内所有点最大距离最小的 \(x\) 和 \(y\) 。这需要知道每个 \(x\) 或者 \(y\) 对块内所有点的最大距离。

考虑换根 \(\operatorname{dp}\) 。

首先对每个连通块进行第一次 \(\operatorname{dfs}\) 以求出子树内叶节点与该节点的最大距离 \(f_{u,0}\) ，以及树的直径。

对于第二次 \(\operatorname{dfs}\)，对于某个节点的贡献是子树以内的最长链或者是子树以外的最长链。 其中子树以内的最长链已经求出。设 \(d_u\) 为 \(u\) 节点子树以外的最长链，那么转移应该为：

\[d_v=\max(d_v,\max(d_u,f_{u,0})) \]

但是当 \(v\) 本身属于最长链时上述方程不成立，因此还要在第一次的 \(\operatorname{dfs}\) 维护一个子树内次长链 \(f_{u,1}\) ，并记录最长链对应的节点 \(fir_u\)。最终的转移为：

\[d_v= \begin {cases} \max(d_v,\max(d_u,f_{u,0})) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (v=fir_u) \\ \max(d_v,\max(d_u,f_{u,1})) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (v\ne fir_u) \end{cases} \]

取 $\min $ 可得合法的 \(x,y\) 。

设两个连通块直径取 \(\max\) 后的结果为 \(res\)，那么答案为：

\[ans=\min(ans,\max(res,d_x+d_y+w)) \]

代码：

code 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define Reg register
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5005,inf=2147483100;
int n,cnt,lroot,rroot,maxx,ans;
int head[maxn],vis[maxn],dismax[maxn],dissec[maxn],fir[maxn],sec[maxn];
int evis[maxn],dis[maxn],pvis[maxn];
struct ED{
    int to,nxt,w;
}e[maxn<<1];
inline int read(){
    int s=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return s*w;
}
inline void add(int u,int v,int w){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
inline void dfs(int u,int fa,int depth){
    if(depth>maxx) ans=maxx=depth,rroot=u;
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u,depth+e[i].w);
    }
}
int res=0,minu=inf,minv=inf;
inline void fdfs(int u,int fa){
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to,w=e[i].w;
        if(evis[i+1>>1]) continue;
        if(v==fa) continue;
        fdfs(v,u);
        res=max(res,dismax[u]+dismax[v]+w);
        if(dismax[v]+w>dismax[u]){
            dissec[u]=dismax[u];
            sec[u]=fir[u];
            dismax[u]=dismax[v]+w;
            fir[u]=v;
        }else if(dismax[v]+w>dissec[u]){
            dissec[u]=dismax[v]+w;
            sec[u]=v;
        }
    }
}
inline void pdfs(int u,int fa,int idx,int S){
    if(!idx) minu=min(minu,max(dismax[u],S));
    else minv=min(minv,max(dismax[u],S));
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(evis[i+1>>1]) continue;
        if(v==fa) continue;
        if(v==fir[u]){
            if(sec[u])pdfs(v,u,idx,max(S,dissec[u])+e[i].w);
            else pdfs(v,u,idx,S+e[i].w);
        }
        else pdfs(v,u,idx,max(S,dismax[u])+e[i].w);
    }
}
inline void solve(int u,int v,int x){
    res=0,minu=inf,minv=inf;
    memset(fir,0,sizeof(int)*(n+10));
    memset(sec,0,sizeof(int)*(n+10));
    memset(dismax,0,sizeof(int)*(n+10));
    memset(dissec,0,sizeof(int)*(n+10));
    fdfs(u,0);pdfs(u,0,0,0);
    fdfs(v,0);pdfs(v,0,1,0);
    ans=min(ans,max(res,x+minu+minv));
}
inline void finds(int u,int fa){
    if(u==rroot) vis[u]=1; 
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        finds(v,u);
        if(vis[v]){
            evis[i+1>>1]=1;
            solve(u,v,e[i].w);
            vis[u]=1;
            evis[i+1>>1]=0;
        } 
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(Reg int i=1;i<n;++i){
        int x=read(),y=read(),w=read();
        add(x,y,w),add(y,x,w);
    }
    dfs(1,0,0);lroot=rroot,maxx=0;
    dfs(lroot,0,0);
    //printf("%d %d\n",lroot,rroot);
    finds(lroot,0);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}






CF708C Centroids

题意：

给定一颗树，你有一次将树改造的机会，改造的意思是删去一条边，再加入一条边，保证改造后还是一棵树。

请问有多少点可以通过改造，成为这颗树的重心？（如果以某个点为根，每个子树的大小都不大于\(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，则称某个点为重心）

\(n\le 4e5\)

解题思路：

一眼换根 \(\operatorname{dp}\)。

能推出来对于某个点若不满足重心的要求，可以将其一个大小大于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的子树切下一个最大的小于等于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的部分接到根上。

然后发现不会设状态，颓了眼题解，于是对 \(\operatorname{BE}\) 是神必这件事深以为然。

设 \(f_u\) 为子树内最大的小于等于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的部分，转移如下：

\[f_u= \begin {cases} \max(f_u,siz_v) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (siz_v \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor) \\ \max(f_u,f_v) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (siz_v > \lfloor \frac{n}{2} \rfloor) \end{cases} \]

（比较显然）

但是要求换根。

那么就需要跟上一道题一样，要维护最大值和次大值了（转移方程不写力）。

如果说这个节点本来就是重心那么它可以被改造成重心（废话），否则必须满足如下要求：

\[(maxsiz_u-f_u \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor) \]

当然 \(maxsiz_u\) 可以是父节点的那一部分 （ \(n-siz_u\) ）。

然后就做完了。

代码：

code 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define Reg register
using namespace std;
const int maxn=410000;
int n,cnt,head[maxn],siz[maxn],fir[maxn],sec[maxn],maxsiz[maxn];
int vis[maxn],f[maxn][2],dp[maxn];
struct ED{
    int to,nxt;
}e[maxn<<1];
inline int read(){
    int s=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return s*w;
}
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
inline void dfso(int u,int fa){
    siz[u]=1;
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfso(v,u);
        maxsiz[u]=max(maxsiz[u],siz[v]);
        if(siz[v]<=n/2){
            if(siz[v]>f[u][0]){
                f[u][1]=f[u][0],sec[u]=fir[u];
                f[u][0]=siz[v],fir[u]=v;
            }else if(siz[v]>f[u][1]){
                f[u][1]=siz[v],sec[u]=v;
            }
        }else{
            if(f[v][0]>f[u][0]){
                f[u][1]=f[u][0],sec[u]=fir[u];
                f[u][0]=f[v][0],fir[u]=v;
            }else if(f[v][0]>f[u][1]){
                f[u][1]=f[v][0],sec[u]=v;
            }
        }
        siz[u]+=siz[v];
    }
  //  printf("%d %d\n",f[u][0],f[u][1]);
}
inline void dfst(int u,int fa){
    vis[u]=1;
    if(maxsiz[u]>n/2) vis[u]=((maxsiz[u]-f[u][0])<=n/2);
    else if(n-siz[u]>n/2) vis[u]=((n-siz[u]-dp[u])<=n/2);
    for(Reg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        if(n-siz[v]<=n/2) dp[v]=max(dp[v],n-siz[v]);
        else dp[v]=max(dp[v],dp[u]);
        if(v==fir[u]){
            if(sec[u]) dp[v]=max(dp[v],f[u][1]); 
            dfst(v,u);
        }else{
            dp[v]=max(dp[v],f[u][0]);
            dfst(v,u);
        }
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(Reg int i=1;i<n;++i){
        int x=read(),y=read();
        add(x,y),add(y,x);
    }
    dfso(1,0),dfst(1,0);
    for(Reg int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",vis[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

累麻。

标签：有意思,le,int,max,树形,maxn,siz,节点,dp
From： https://www.cnblogs.com/Broken-Eclipse/p/16874286.html

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