整数在内存中的天才存储方案

加法和减法是计算机中最基本的运算，计算机时时刻刻都离不开它们，所以它们由硬件直接支持。为了提高加减法的运算效率，硬件电路要设计得尽量简单。对于有符号数，内存要区分符号位和数值位，对于人脑来说，很容易辨别，但是对于计算机来说，就要设计专门的电路：有符号加、减，这无疑增加了硬件的复杂性，增加了计算的时间。要是能把符号位和数值位等同起来，让它们一起参与运算，不再加以区分，这样硬件电路就变得简单了。

另外，加法和减法也可以合并为一种运算，就是加法运算，因为减去一个数相当于加上这个数的相反数，例如，5 - 3 等价于 5 + (-3)，10 - (-9) 等价于 10 + 9。如果能够实现上面的两个目标，那么只要设计一种简单的、不用区分符号位和数值位的加法电路，就能同时实现加法和减法运算，并且非常高效。实际上，这两个目标都已经实现了，真正的计算机硬件电路就是如此简单。

然而，简化硬件电路是有代价的，这个代价就是有符号数在存储和读取时都要进行转化——为了计算相反数，必然需要转化。那么，这个转换过程究竟是怎样的呢？接下来我们就详细地讲解一下。

首先，需要弄清下面几个概念：原码、反码、补码。参考：补码、原码、反码 - 武装部 - 博客园 (cnblogs.com)

补码到底是如何简化硬件电路的

假设 6 和 18 都是 short 类型的，现在我们要计算 6 - 18 的结果，根据运算规则，它等价于 6 + (-18)。
如果采用原码计算，那么运算过程为：

6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]_原 + [1000 0000 0001 0010]_原
= [1000 0000 0001 1000]_原
= -24

直接用原码表示整数，让符号位也参与运算，对于类似上面的减法来说，结果显然是不正确的。

于是就考虑用反码代替原码参与计算行不行？下面就演示了反码运算的过程：

6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]_反 + [1111 1111 1110 1101]_反
= [1111 1111 1111 0011]_反
= [1000 0000 0000 1100]_原
= -12

这样一来，计算结果就正确了。

然而，若是将减数和被减数交换下位置：18 - 6

18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]_反 + [1111 1111 1111 1001]_反
= [1 0000 0000 0000 1011]_反
= [0000 0000 0000 1011]_反
= [0000 0000 0000 1011]_原
= 11

按照反码计算的结果是 11，而真实的结果应该是 12 才对，它们相差了 1。

蓝色的 1 是加法运算过程中的进位，它溢出了，内存容纳不了了，所以直接截掉。

6 - 18 的结果正确，18 - 6 的结果就不正确，相差 1。后来发现这么个规律：按照反码计算，小数减大数正确；大数减小数就不对了，始终相差1。好奇的话可以自己去试一试，如：5 - 13 和 13 - 5 。

于是开始设计补码，规则很简单就是通过打补丁来纠正差的这个1。补码 = 反码 + 1。

下面演示了按照补码计算的过程：

6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]_补 + [1111 1111 1110 1110]_补
= [1111 1111 1111 0100]_补
=  [1111 1111 1111 0011]_反
= [1000 0000 0000 1100]_原
= -12
## 这里由于符号位是负数，所以在补码转换回反码的过程中，要进行减一操作；一加一减，等于没变。
18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]_补 + [1111 1111 1111 1010]_补
= [1 0000 0000 0000 1100]_补
= [0000 0000 0000 1100]_补
= [0000 0000 0000 1100]_反
= [0000 0000 0000 1100]_原
= 12
## 这里由于符号位是正数，故补码/反码/原码都是一个，因此在反码转换补码时添加的那个一计算完毕就被保留下来；于是便把大数减小数时差的那个1给补了上来。神不神奇？

在计算机内存中，整数一律采用补码的形式来存储，在读取整数时则进行一个由补到原的转换即可。这种天才般的设计一举达成了本文开头提到的两个目标，简化了硬件电路。