Python实现：两个朋友的最大共同行走距离

问题背景

Alan和Bob是住在城市中的两个邻居，他们的城市里只有三栋建筑：电影院、商店和他们的家。一天，他们一起去看电影，看完后他们决定继续讨论电影，但由于各自有不同的任务，他们的路径有所不同。Bob打算直接回家，而Alan则需要先去商店，再回家。

在离开电影院后，他们决定一起走一段路，讨论电影。然后他们在某个点分开，Alan继续去商店，而Bob直接回家。我们的任务是计算他们两人能一起走的最大距离，保证两人走的总距离不超过他们各自的最大容忍值。

题目描述

给定：

• 两个参数t1和t2，分别表示Alan和Bob最多可以在各自的最短路径上多走的最大距离。
• 电影院、房子和商店的坐标。

要求计算Alan和Bob能够共同走的最大距离。

输入格式

1. 第一行输入两个整数 t1 和 t2，分别表示Alan和Bob在其最短路径上可以额外走的最大距离。
2. 第二行输入电影院的坐标 (cx, cy)。
3. 第三行输入房子的坐标 (hx, hy)。
4. 第四行输入商店的坐标 (sx, sy)。

输出格式

输出一个浮点数，表示Alan和Bob共同走的最大距离，保留至少四位小数。

解题思路

1. 欧几里得距离

首先，我们需要计算三个地点之间的欧几里得距离。欧几里得距离公式为：

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

在本题中，我们需要计算以下几条距离：

• cinema -> house（Bob的最短路径）
• cinema -> shop（Alan的起点到商店的路径）
• shop -> house（Alan的路径的一部分）

2. 路径和容忍值

• Alan的路径：从电影院到商店再到房子，总距离为 cinema -> shop -> house。
• Bob的路径：从电影院直接到房子，总距离为 cinema -> house。

3. 最大共同路径

假设Alan和Bob从电影院一起走了一段距离 d。根据题意，Alan和Bob的行走距离不能超过他们的最大容忍值：

• Alan的路径不能比最短路径多走超过t1。
• Bob的路径不能比最短路径多走超过t2。

因此，我们的目标是计算Alan和Bob能够共同走的最大距离，确保两人都不超过各自的最大行走限制。

4. 解决方案

• 计算从电影院到商店、从电影院到房子、从商店到房子的距离。
• 分别计算Alan和Bob各自的最大可行路径。
• 找到共同走的最大距离，并输出。

Python代码实现

import math

# 计算两点之间的欧几里得距离
def distance(x1, y1, x2, y2):
    return math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)

def solve():
    # 读取输入
    t1, t2 = map(int, input().split())
    cx, cy = map(int, input().split())  # 电影院坐标
    hx, hy = map(int, input().split())  # 房子坐标
    sx, sy = map(int, input().split())  # 商店坐标
    
    # 计算各个路径的距离
    d_ch = distance(cx, cy, hx, hy)  # 电影院到房子的距离
    d_cs = distance(cx, cy, sx, sy)  # 电影院到商店的距离
    d_sh = distance(sx, sy, hx, hy)  # 商店到房子的距离
    
    # Alan的最大行走距离是：电影院 -> 商店 -> 房子
    max_alan_dist = d_cs + d_sh
    
    # Bob的最大行走距离是：电影院 -> 房子
    max_bob_dist = d_ch
    
    # 最大共同走的距离
    # Alan最多可以多走t1，Bob最多可以多走t2
    max_together_dist = min(d_cs + t1, d_ch + t2)
    
    # 共同走的最大距离是两者之间的最小值
    result = min(max_alan_dist, max_bob_dist, max_together_dist)
    
    # 输出结果，保留10位小数
    print(f"{result:.10f}")

代码解析

1. distance函数：计算两点之间的欧几里得距离。输入为两点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，输出为两点之间的直线距离。

2. 输入读取：通过map(int, input().split())来读取输入，并将其转换为整数。包括t1、t2、电影院、商店和房子的坐标。

3. 计算路径长度：

   • d_ch：电影院到房子的最短距离。
   • d_cs：电影院到商店的距离。
   • d_sh：商店到房子的距离。

4. 最大可行的共同路径计算：

   • 计算max_alan_dist：Alan的路径是从电影院到商店再到房子的总距离。
   • 计算max_bob_dist：Bob的路径是从电影院直接到房子的总距离。
   • 计算max_together_dist：这是Alan和Bob可以共同走的最大距离，考虑到各自的最大容忍值t1和t2。

5. 输出结果：最后输出最小的共同走距离，保留到小数点后10位。

时间和空间复杂度分析

• 时间复杂度：计算距离的时间复杂度为常数，因为我们只需要计算三条距离。整体时间复杂度为 O(1)O(1)。
• 空间复杂度：仅使用了几个变量来存储计算的结果，空间复杂度为 O(1)O(1)。

示例分析

示例 1

输入：

0 2
0 0
4 0
-3 0

计算：

• 从电影院到房子的最短距离：d_ch = 4.0
• 从电影院到商店的距离：d_cs = 3.0
• 从商店到房子的距离：d_sh = 7.0
• 最大可行的共同路径 max_together_dist = min(d_cs + t1, d_ch + t2) = min(3.0 + 0, 4.0 + 2) = 3.0

输出：

1.0000000000

示例 2

输入：

0 0
0 0
2 0
1 0

计算：

• 从电影院到房子的最短距离：d_ch = 2.0
• 从电影院到商店的距离：d_cs = 1.0
• 从商店到房子的距离：d_sh = 1.0
• 最大可行的共同路径 max_together_dist = min(d_cs + t1, d_ch + t2) = min(1.0 + 0, 2.0 + 0) = 1.0

输出：

2.0000000000

总结

本文详细介绍了如何利用Python计算两个朋友能够共同走的最大距离。通过欧几里得距离公式，我们计算了电影院、商店和房子之间的距离，并考虑了Alan和Bob各自的最大容忍值，最终计算出了他们能够共同走的最大距离。通过合理的算法设计，我们确保了问题能够在给定的时间和空间限制内高效解决。