首页 > 编程语言 >莫队算法(Helped With ChatGPT)

莫队算法(Helped With ChatGPT)

时间：2024-12-11 18:01:45浏览次数：4  
标签：idx int 查询 Helped queries 区间 ChatGPT 莫队

​
同步我的博客:https://me.mycbxzd.top/archives/32

ChatGPT 也可能会犯错。请核查重要信息。

一、普通莫队算法

1. 概述

普通莫队算法是处理一维区间查询问题的基础版本。主要目标是通过排序和分块，将暴力计算中每次区间操作的重复部分重用，从而优化查询效率。

2. 适用场景

普通莫队适用于区间不变、仅需查询统计信息的问题，比如：

  • 区间和
  • 区间最大值/最小值
  • 区间中不同数字的个数
  • 判断区间是否满足某些条件

3. 算法步骤

  1. 分块：将数组按块分为大小接近 sqrt(n) 的区间。
  2. 排序查询：按查询的左端点所在块排序，若块号相同按右端点升序排序。
  3. 逐个处理查询：
    • 维护当前区间 [L, R]。
    • 通过增减左右端点来更新当前区间的统计值。
    • 保存查询结果。

4. 代码实现

以下是计算区间 [L, R] 元素和的例子：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=100000; // 数组最大长度
const int BLOCK=317;   // 分块大小，约为sqrt(MAXN)

int arr[MAXN];   // 输入数组
int result[MAXN]; // 保存每个查询的结果
int currentSum=0; // 当前区间的和

struct Query {
    int L, R, idx;
} queries[MAXN];

bool compare(Query a, Query b) {
    if(a.L/BLOCK != b.L/BLOCK) return a.L/BLOCK < b.L/BLOCK;
    return a.R < b.R;
}

void add(int idx) {
    currentSum += arr[idx];
}

void remove(int idx) {
    currentSum -= arr[idx];
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    for(int i=0; i<n; i++) cin >> arr[i]; // 输入数组

    for(int i=0; i<q; i++) {
        cin >> queries[i].L >> queries[i].R;
        queries[i].L--, queries[i].R--; // 转为0基索引
        queries[i].idx = i; // 记录查询编号
    }

    sort(queries, queries+q, compare); // 按莫队规则排序

    int L=0, R=-1; // 当前区间初始化为空
    for(int i=0; i<q; i++) {
        while(R < queries[i].R) add(++R);
        while(R > queries[i].R) remove(R--);
        while(L < queries[i].L) remove(L++);
        while(L > queries[i].L) add(--L);

        result[queries[i].idx] = currentSum; // 保存结果
    }

    for(int i=0; i<q; i++) cout << result[i] << endl; // 按查询顺序输出结果

    return 0;
}

5. 代码解析

  1. 分块和排序：
    • 按块号排序，块内按右端点升序排序，确保查询顺序最优。
  2. 维护区间统计：
    • add(idx)：将元素 arr[idx] 加入当前区间。
    • remove(idx)：将元素 arr[idx] 移出当前区间。
  3. 调整区间：
    • 当前区间 [L, R] 不断向查询目标 [L', R'] 移动，通过 while 循环动态维护统计信息。

6. 时间复杂度

  • 单次查询调整左右端点至多涉及 O(sqrt(n)) 次操作。
  • 查询总时间复杂度为 O((n+q) * sqrt(n))。

7. 例题

  • 求区间和
  • 求区间中不同数字的个数（通过统计频率数组实现）
  • 判断区间是否为某种性质

二、带修改莫队算法

1. 概述

普通莫队算法不支持对数组的动态修改。带修改的莫队算法引入修改操作，解决同时存在查询和更新的情况。

2. 适用场景

需要同时支持区间查询和单点更新的问题，比如：

  • 区间和，允许修改数组某个元素的值。
  • 区间统计，允许改变数组某些数据。

3. 算法思想

  1. 扩展查询操作：
    • 查询分为两部分：
      • 区间 [L, R] 的操作（类似普通莫队）。
      • 处理修改带来的影响。
  2. 离线处理：
    • 将查询和更新操作统一存储，通过操作序号区分。
    • 按照莫队规则排序查询时，动态应用之前的更新。

4. 代码实现

以下是同时支持区间和查询及单点更新的实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=100000;
const int BLOCK=317;

int arr[MAXN];     // 原始数组
int temp[MAXN];    // 当前数组状态
int result[MAXN];  // 查询结果
int currentSum=0;  // 当前区间的和

struct Query {
    int type, L, R, idx, x; // type=1为查询，type=2为修改
} queries[MAXN];

bool compare(Query a, Query b) {
    if(a.L/BLOCK != b.L/BLOCK) return a.L/BLOCK < b.L/BLOCK;
    return a.R < b.R;
}

void add(int idx) {
    currentSum += temp[idx];
}

void remove(int idx) {
    currentSum -= temp[idx];
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    for(int i=0; i<n; i++) {
        cin >> arr[i];
        temp[i] = arr[i];
    }

    int queryCount=0;
    for(int i=0; i<q; i++) {
        int type;
        cin >> type;
        if(type == 1) { // 查询
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            queries[queryCount++] = {1, l-1, r-1, i, -1};
        } else { // 修改
            int idx, x;
            cin >> idx >> x;
            queries[queryCount++] = {2, idx-1, -1, i, x};
        }
    }

    sort(queries, queries+queryCount, compare);

    int L=0, R=-1;
    for(int i=0; i<queryCount; i++) {
        if(queries[i].type == 1) { // 查询
            while(R < queries[i].R) add(++R);
            while(R > queries[i].R) remove(R--);
            while(L < queries[i].L) remove(L++);
            while(L > queries[i].L) add(--L);

            result[queries[i].idx] = currentSum;
        } else { // 修改
            int idx = queries[i].L;
            int x = queries[i].x;

            remove(idx);
            temp[idx] = x;
            add(idx);
        }
    }

    for(int i=0; i<q; i++) {
        if(queries[i].type == 1)
            cout << result[queries[i].idx] << endl;
    }

    return 0;
}

5. 代码解析

  • type=1 表示查询，type=2 表示修改。
  • 在处理每个查询之前，动态应用之前的修改操作。

6. 复杂度分析

时间复杂度同普通莫队，额外复杂度取决于更新操作的数量。

三、树上莫队

1. 概述

树上莫队是普通莫队在树结构上的扩展，用于解决树上路径查询相关的问题。例如，求一棵树中从节点 u 到节点 v 路径上的某种统计值。

树上莫队通过离线处理，将树的查询问题转换为类似一维数组的问题。它的关键是将树线性化，使得莫队算法可以直接应用。

2. 适用场景

  • 查询树中两节点路径上的元素和。
  • 查询路径上的不同元素个数。
  • 查询路径上是否存在某种特定条件的元素。

3. 算法思想

  1. 树的线性化（DFS序）：

    • 对树进行深度优先搜索，记录每个节点的起始时间和结束时间，即将树的节点展开为一个线性序列。
    • 在路径查询时，树上两节点间的路径可以转换为这个序列上的区间。

  2. 莫队应用：

    • 使用 DFS 序列，将路径查询转化为区间查询，直接套用莫队算法进行处理。

  3. 特殊处理：

    • 对于路径上的两段区间（当路径经过树根时），需要考虑两次统计信息。

4. 代码实现

以下是求树上两节点路径元素和的实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=100000;

struct Edge {
    int to, next;
} edge[MAXN*2];

int head[MAXN], tot=0;
int arr[MAXN]; // 树节点的值
int euler[2*MAXN]; // 记录DFS序列
int in[MAXN], out[MAXN], idx=0;
int result[MAXN]; // 查询结果
int currentSum=0; // 当前路径和
int vis[MAXN]; // 访问标记，1表示路径上，0表示不在路径上

struct Query {
    int L, R, idx, lca;
} queries[MAXN];

// 添加树的边
void addEdge(int u, int v) {
    edge[++tot] = {v, head[u]};
    head[u] = tot;
}

// DFS 生成 Euler 序列
void dfs(int u, int parent) {
    in[u] = ++idx;
    euler[idx] = u;
    for(int i=head[u]; i; i=edge[i].next) {
        int v = edge[i].to;
        if(v != parent) dfs(v, u);
    }
    out[u] = ++idx;
    euler[idx] = u;
}

// 莫队排序规则
bool compare(Query a, Query b) {
    if(a.L/316 != b.L/316) return a.L/316 < b.L/316;
    return a.R < b.R;
}

// 切换访问状态
void toggle(int x) {
    if(vis[x]) currentSum -= arr[x];
    else currentSum += arr[x];
    vis[x] ^= 1;
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    for(int i=1; i<=n; i++) cin >> arr[i]; // 节点的值

    for(int i=1; i<n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        addEdge(u, v);
        addEdge(v, u);
    }

    dfs(1, -1); // 从节点1开始DFS

    int queryCount=0;
    for(int i=0; i<q; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        if(in[u] > in[v]) swap(u, v); // 保证u在DFS序中靠前

        if(out[u] >= in[v]) { // u是v的祖先
            queries[queryCount++] = {in[u], in[v], i, -1};
        } else { // u和v不在同一子树
            queries[queryCount++] = {out[u], in[v], i, u};
        }
    }

    sort(queries, queries+queryCount, compare);

    int L=1, R=0;
    for(int i=0; i<queryCount; i++) {
        while(R < queries[i].R) toggle(euler[++R]);
        while(R > queries[i].R) toggle(euler[R--]);
        while(L < queries[i].L) toggle(euler[L++]);
        while(L > queries[i].L) toggle(euler[--L]);

        if(queries[i].lca != -1) toggle(queries[i].lca); // 特殊处理lca
        result[queries[i].idx] = currentSum;
        if(queries[i].lca != -1) toggle(queries[i].lca); // 恢复状态
    }

    for(int i=0; i<q; i++) cout << result[i] << endl;

    return 0;
}

5. 代码解析

  1. 树的线性化：
    • 使用 DFS 遍历树，记录每个节点进入和离开时的时间（in[u] 和 out[u]）。
    • DFS 序列 euler 是展开后的线性数组。
  2. 路径查询的处理：
    • 查询分为两种情况：
      • 一个区间：若 u 是 v 的祖先，路径可以直接表示为 [in[u], in[v]]。
      • 两个区间：路径需要拼接为 [out[u], in[v]] 和 lca 节点。
  3. 莫队算法：
    • 按照 DFS 序列，将路径查询转化为普通区间查询。
    • 特殊处理 lca 节点，以避免重复统计。

6. 时间复杂度

  • DFS：O(n)
  • 莫队：O((n+q) * sqrt(n))
  • 总时间复杂度为 O((n+q) * sqrt(n))。

四、回滚莫队

1. 概述

回滚莫队是一种将莫队算法和回滚技术（Undo操作）相结合的扩展。通过保存操作的状态，可以在动态调整查询区间时快速回退至之前的状态，避免重新计算，从而支持更多场景。

2. 适用场景

  • 查询区间和需要动态修改的操作同时存在，例如：
    • 需要对数组某些位置频繁更新，但查询和更新操作彼此交替。
    • 处理区间内满足某种性质的元素个数，并允许实时撤销。
  • 查询区间上涉及复杂计算，且需要频繁修改的情况。

3. 算法思想

  1. 时间维度扩展：

    • 在普通莫队中，处理区间是通过调整左右端点 [L, R] 来动态维护的，而在回滚莫队中，除了维护左右端点，还需要维护“时间”维度。
    • “时间”维度指查询时的操作序号（支持修改）。

  2. 保存状态：

    • 通过一个栈保存每次操作的影响，以便撤销（Undo）。

  3. 查询和修改处理：

    • 查询：使用莫队处理左右端点区间。
    • 修改：调整修改操作，通过回滚还原到目标状态。

4. 实现步骤

  1. 按莫队排序查询，时间维度按顺序加入。
  2. 对于每个查询：
    • 根据当前时间，动态应用或撤销之前的修改操作。
    • 动态调整左右端点 [L, R]。
    • 将最终结果存储。

5. 代码实现

以下是一个回滚莫队的实现，支持区间和查询以及动态修改操作：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=100000;
const int BLOCK=317;

int arr[MAXN];       // 原始数组
int currentSum=0;    // 当前区间和
int result[MAXN];    // 查询结果
vector<pair<int, int>> updates; // 记录所有更新操作

struct Query {
    int L, R, time, idx;
} queries[MAXN];

bool compare(Query a, Query b) {
    if(a.L/BLOCK != b.L/BLOCK) return a.L/BLOCK < b.L/BLOCK;
    if(a.R/BLOCK != b.R/BLOCK) return a.R/BLOCK < b.R/BLOCK;
    return a.time < b.time; // 同块内按时间排序
}

void add(int idx) {
    currentSum += arr[idx];
}

void remove(int idx) {
    currentSum -= arr[idx];
}

void applyUpdate(int time, bool undo) {
    int idx = updates[time].first;
    int newValue = undo ? updates[time].second : arr[idx];
    int oldValue = undo ? arr[idx] : updates[time].second;

    remove(idx);
    arr[idx] = newValue;
    add(idx);
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    for(int i=0; i<n; i++) cin >> arr[i];

    int queryCount=0, updateCount=0;
    for(int i=0; i<q; i++) {
        int type;
        cin >> type;
        if(type == 1) { // 查询
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            queries[queryCount++] = {l-1, r-1, updateCount, i};
        } else { // 修改
            int idx, x;
            cin >> idx >> x;
            updates.push_back({idx-1, arr[idx-1]}); // 记录修改前的值
            arr[idx-1] = x; // 实际修改
            updateCount++;
        }
    }

    sort(queries, queries+queryCount, compare); // 按莫队排序

    int L=0, R=-1, currentTime=0;
    for(int i=0; i<queryCount; i++) {
        while(currentTime < queries[i].time) applyUpdate(currentTime++, false);
        while(currentTime > queries[i].time) applyUpdate(--currentTime, true);

        while(R < queries[i].R) add(++R);
        while(R > queries[i].R) remove(R--);
        while(L < queries[i].L) remove(L++);
        while(L > queries[i].L) add(--L);

        result[queries[i].idx] = currentSum;
    }

    for(int i=0; i<queryCount; i++) cout << result[i] << endl;

    return 0;
}

6. 代码解析

  1. 维护三维状态：
    • 左端点 L，右端点 R，以及“时间”维度 currentTime。
  2. 处理修改操作：
    • 每次修改操作保存在 updates 中，包含修改位置及旧值。
    • 调用 applyUpdate 方法应用或撤销修改。
  3. Undo操作：
    • 回滚时恢复原值，调整区间统计。

7. 时间复杂度

  • 每个修改或查询操作时间复杂度为 O(sqrt(n))。
  • 总复杂度为 O((n+q) * sqrt(n))。

五、二维莫队

1. 概述

二维莫队是普通莫队在二维平面问题上的扩展，主要解决以下类型的问题：

  • 平面上点的某种统计。
  • 矩形范围内的查询问题，例如统计范围内的点数或其他属性。

二维莫队将问题转化为离线查询，通过对查询的特殊排序，动态维护区间状态。

2. 适用场景

  • 统计平面上的点数：如统计矩形范围内有多少点满足特定条件。
  • 处理二维矩形范围查询：如查询矩形范围内的最大值、最小值或其他统计信息。

二维莫队通常适用于点分布稠密、矩形查询多的情况。

3. 算法思想

  1. 查询排序：

    • 将查询按照左下角或右上角的坐标排序，保证查询顺序尽量减少状态切换的复杂度。

  2. 动态维护区间：

    • 使用类似普通莫队的方式，动态维护当前统计范围。
    • 动态调整的区间可能是二维矩形范围，包含左端点、右端点、上下边界。

  3. 块排序优化：

    • 按照二维坐标分块处理，将块分布与查询顺序紧密结合。

4. 实现步骤

  1. 按二维分块对查询排序。
  2. 动态调整当前二维范围。
  3. 在矩形范围内计算统计值。

5. 代码实现

以下是二维莫队的完整实现，解决平面上矩形查询点数的问题。

题目描述：给定一组点 (x, y) 和多个查询，每次查询统计某个矩形范围内的点数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=100000;
const int BLOCK=316; // 块大小

struct Point {
    int x, y, id;
};

struct Query {
    int x1, y1, x2, y2, idx, ans;
};

int freq[MAXN]; // 记录每个点的频率
int pointCount=0; // 当前矩形范围内的点数
vector<Point> points;
vector<Query> queries;

// 查询排序规则
bool compare(Query a, Query b) {
    int blockX1 = a.x1 / BLOCK, blockX2 = b.x1 / BLOCK;
    if(blockX1 != blockX2) return blockX1 < blockX2;
    int blockY1 = a.y1 / BLOCK, blockY2 = b.y1 / BLOCK;
    return blockY1 == blockY2 ? a.y2 < b.y2 : blockY1 < blockY2;
}

// 修改矩形范围时的处理逻辑
void add(Point p) {
    if(freq[p.id]++ == 0) pointCount++;
}

void remove(Point p) {
    if(--freq[p.id] == 0) pointCount--;
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    points.resize(n);
    for(int i=0; i<n; i++) {
        cin >> points[i].x >> points[i].y;
        points[i].id = i; // 每个点一个唯一id
    }

    queries.resize(q);
    for(int i=0; i<q; i++) {
        cin >> queries[i].x1 >> queries[i].y1 >> queries[i].x2 >> queries[i].y2;
        queries[i].idx = i;
    }

    sort(queries.begin(), queries.end(), compare);

    // 初始化当前矩形范围
    int Lx=0, Rx=-1, Ly=0, Ry=-1;
    for(Query& query : queries) {
        // 动态调整矩形范围
        while(Rx < query.x2) add(points[++Rx]);
        while(Rx > query.x2) remove(points[Rx--]);
        while(Lx < query.x1) remove(points[Lx++]);
        while(Lx > query.x1) add(points[--Lx]);
        while(Ry < query.y2) add(points[++Ry]);
        while(Ry > query.y2) remove(points[Ry--]);
        while(Ly < query.y1) remove(points[Ly++]);
        while(Ly > query.y1) add(points[--Ly]);

        // 存储查询结果
        query.ans = pointCount;
    }

    // 按原查询顺序输出结果
    sort(queries.begin(), queries.end(), [](Query a, Query b) {
        return a.idx < b.idx;
    });

    for(Query& query : queries) {
        cout << query.ans << endl;
    }

    return 0;
}

6. 代码解析

  1. 查询排序：
    • 按照二维坐标 x1 和 y1 分块排序，确保查询尽量在同一块中连续进行。
  2. 矩形范围调整：
    • 使用四个边界变量 Lx，Rx，Ly，Ry 动态维护当前范围。
  3. 统计结果：
    • 统计范围内的点数，通过 freq 记录当前范围内每个点的出现次数。

7. 时间复杂度

  • 查询排序：O(q * log(q))
  • 每次查询：调整区间的复杂度为 O(sqrt(n) + sqrt(q))
  • 总时间复杂度：O((n+q) * sqrt(n))。

8. 适用例题

  • 查询二维平面上某矩形范围的点数。
  • 求解二维矩形的最大值或最小值。
  • 统计范围内满足条件的点的属性。

六、莫队二次离线

1. 概述

莫队二次离线是在普通莫队算法的基础上，通过进一步分离和优化动态修改与查询操作而得的一种改进技术。相比普通莫队，二次离线更适合处理同时包含大量修改与查询的复杂场景，且在某些情况下可以进一步降低时间复杂度。

2. 适用场景

  • 动态修改与查询同时存在：
    • 需要在数组上既执行修改操作，又对数组某些区间进行查询统计。
    • 修改与查询交替进行，修改会影响后续的查询。
  • 适用于无法直接通过回滚实现的场景。

3. 算法思想

普通莫队通过维护左右端点和简单的修改序列来动态调整状态，而莫队二次离线通过以下思想优化：

  1. 时间轴上的分块：

    • 将时间维度也划分为多个块，每个块处理特定范围的修改和查询操作。
    • 按时间顺序逐块处理，块内操作离线排序，块间按顺序处理。

  2. 按修改排序：

    • 每个块内，将修改操作与查询操作按照一定规则重新排序，以减少状态切换。

  3. 操作分离：

    • 将修改操作与查询操作分离，避免在处理查询时频繁回退或重新应用修改操作。

4. 实现步骤

  1. 按时间分块，划分修改与查询操作。
  2. 在每个时间块内，分别维护当前的左右端点 [L, R] 以及当前时间。
  3. 动态调整区间和修改状态，按顺序离线处理每个块的查询操作。

5. 代码实现

以下是莫队二次离线的代码实现，用于同时处理数组的动态修改和区间查询问题。

题目描述：

  • 给定一个数组，支持两种操作：
    1. 修改数组的某个位置的值。
    2. 查询数组某区间 [L, R] 内的最大值。
  • 输出所有查询的结果。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=100000;
const int BLOCK=316; // 块大小（根号分块）

int arr[MAXN], temp[MAXN]; // 原始数组和临时数组
int result[MAXN];          // 查询结果
vector<pair<int, int>> updates; // 修改操作列表

struct Query {
    int L, R, time, idx;
};

vector<Query> queries;

bool compare(Query a, Query b) {
    int blockL = a.L / BLOCK, blockR = a.R / BLOCK;
    if(blockL != blockR) return blockL < blockR; // 按左端点分块
    return a.time < b.time; // 同一块按时间排序
}

// 区间统计的辅助变量
int currentMax = 0;

void add(int idx) {
    currentMax = max(currentMax, arr[idx]);
}

void remove(int idx) {
    // 对于区间删除不需要显式修改 currentMax，莫队查询本质是离线的。
}

void applyUpdate(int time, bool undo) {
    int idx = updates[time].first;
    int newValue = undo ? temp[idx] : updates[time].second; // 新值或旧值
    temp[idx] = arr[idx];
    arr[idx] = newValue;
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    for(int i=0; i<n; i++) cin >> arr[i];
    memcpy(temp, arr, sizeof(arr)); // 初始化临时数组

    int queryCount = 0, updateCount = 0;
    for(int i=0; i<q; i++) {
        int type;
        cin >> type;
        if(type == 1) { // 查询操作
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            queries.push_back({l-1, r-1, updateCount, queryCount++});
        } else { // 修改操作
            int idx, x;
            cin >> idx >> x;
            updates.push_back({idx-1, x});
            updateCount++;
        }
    }

    sort(queries.begin(), queries.end(), compare);

    // 初始化状态
    int L = 0, R = -1, currentTime = 0;
    for(Query& query : queries) {
        // 调整时间到目标状态
        while(currentTime < query.time) applyUpdate(currentTime++, false);
        while(currentTime > query.time) applyUpdate(--currentTime, true);

        // 调整区间左右端点
        while(R < query.R) add(++R);
        while(R > query.R) remove(R--);
        while(L < query.L) remove(L++);
        while(L > query.L) add(--L);

        // 保存查询结果
        result[query.idx] = currentMax;
    }

    for(int i=0; i<queryCount; i++) cout << result[i] << endl;

    return 0;
}

6. 代码解析

  1. 离线处理：
    • 查询和修改操作被离线保存，分别记录在 queries 和 updates 中。
  2. 时间维度分块：
    • 按查询的时间 time 分块，每块内的操作按照时间顺序进行。
  3. 动态状态调整：
    • 每次查询前，通过 applyUpdate 方法调整当前数组状态到目标时间。
  4. 区间查询与维护：
    • 使用区间维护方法 add 和 remove 动态统计 [L, R] 区间的最大值。

7. 时间复杂度

  • 查询排序：O(q * log(q))
  • 每次查询的区间调整复杂度为 O(sqrt(n))。
  • 时间维度的调整复杂度为 O(sqrt(n))。
  • 总时间复杂度：O((n+q) * sqrt(n))。

8. 适用例题

  1. 动态区间最大值：查询数组中某区间的最大值，并支持实时修改。
  2. 区间和与动态更新：同时支持区间和查询和数组元素的实时更新。
  3. 动态统计问题：如统计区间中满足某种条件的元素个数。

七、莫队配合 bitset 优化

1. 概述

莫队算法结合 bitset 是一种高效处理状态表示复杂的问题的技术，常用于：

  • 大范围数据的快速统计和处理。
  • 特定情况下的大规模布尔运算优化。

通过 bitset 代替常规数组或位运算，可以有效减少内存占用，同时利用 bitset 的硬件加速能力，提高复杂计算的速度。

2. 适用场景

  • 区间内的子集问题：
    • 判断区间内是否存在某些数字的子集。
  • 布尔运算统计：
    • 统计区间内布尔值的特定运算结果，如逻辑与、或、异或。
  • 大范围问题的动态处理：
    • 当数组的值域很大（如值域高达 $10^5$ 甚至更高）时，bitset 的使用可以避免直接处理高维数组。

3. 算法思想

  1. bitset 高效位操作：

    • bitset 是一种定长位数组，支持按位运算（如与、或、异或等）。
    • bitset 的每次位操作（如按位统计）可以在常数时间内完成。

  2. 与莫队结合：

    • 通过 bitset 动态维护区间内的状态。
    • 在莫队的左右端点移动过程中，利用 bitset 高效更新状态，快速计算查询结果。

  3. 状态表达：

    • 用 bitset 表示某种属性的集合（如某数字是否出现、某状态是否有效）。
    • 查询区间状态通过位运算快速计算。

4. 实现步骤

  1. 根据问题定义，初始化 bitset 用于存储状态信息。
  2. 按莫队的区间查询逻辑排序和分块。
  3. 动态调整区间的左右端点 [L, R]，使用 bitset 更新区间状态。
  4. 根据查询要求，通过 bitset 的位运算计算结果。

5. 代码实现

题目描述：
给定一个长度为 $n$ 的数组和 $q$ 个查询，每个查询要求判断区间 $[L, R]$ 内是否存在若干数字的和为某固定值 $S$ 的子集。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=100000;
const int BLOCK=316; // 块大小（根号分块）
const int MAXS=1000; // 目标和的最大值

int arr[MAXN];
bitset<MAXS> currentState; // 当前区间的子集和状态
vector<int> results;

struct Query {
    int L, R, S, idx;
};

vector<Query> queries;

// 查询排序规则
bool compare(Query a, Query b) {
    int blockL = a.L / BLOCK, blockR = b.R / BLOCK;
    if(blockL != blockR) return blockL < blockR;
    return a.R < b.R;
}

// 在当前状态中添加或移除一个数字
void add(int val) {
    currentState |= (currentState << val); // 添加新值，更新所有可能的子集和
}

void remove(int val) {
    // 为简单起见，重新构建状态以避免复杂逆运算
    currentState.reset(); // 清空状态
    currentState[0] = 1; // 初始化空集和
    for(int i=0; i<val; i++) add(arr[i]);
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    for(int i=0; i<n; i++) cin >> arr[i];

    queries.resize(q);
    for(int i=0; i<q; i++) {
        int l, r, s;
        cin >> l >> r >> s;
        queries[i] = {l-1, r-1, s, i};
    }

    sort(queries.begin(), queries.end(), compare);
    results.resize(q);

    // 初始化状态
    int L = 0, R = -1;
    currentState.reset();
    currentState[0] = 1; // 初始空集和

    for(Query& query : queries) {
        // 动态调整区间左右端点
        while(R < query.R) add(arr[++R]);
        while(R > query.R) remove(arr[R--]);
        while(L < query.L) remove(arr[L++]);
        while(L > query.L) add(arr[--L]);

        // 计算查询结果
        results[query.idx] = currentState[query.S];
    }

    // 输出查询结果
    for(int res : results) {
        cout << (res ? "YES" : "NO") << endl;
    }

    return 0;
}

6. 代码解析

  1. 状态初始化：

    • 使用 bitset 存储子集和的状态，currentState[i] = 1 表示当前区间内存在和为 i 的子集。
    • 初始状态为空集，currentState[0] = 1。

  2. 动态区间调整：

    • add 函数通过位移操作将新的数字添加到子集和的状态中。
    • remove 函数简单地重建状态，以避免复杂的逆操作。

  3. 查询计算：

    • 直接检查 currentState[S] 是否为 1，表示是否存在子集和为 S。

7. 时间复杂度

  • 区间调整：每次调整的复杂度为 O(MAXS)（bitset 的最大长度）。
  • 查询排序：O(q * log(q))。
  • 总复杂度：O((n+q) * sqrt(n) * MAXS)。

8. 优化思路

  • 减少 MAXS 的长度：
    • 通过压缩值域，降低 bitset 的规模。
  • 优化删除操作：
    • 使用更高效的方法实现逆运算，避免状态重建。

9. 适用例题

  1. 子集和问题：
    • 判断区间内是否存在子集满足特定和。
  2. 布尔运算问题：
    • 区间内的布尔值操作统计（如按位与、或运算）。
  3. 值域压缩问题：
    • 数据范围大，需通过 bitset 实现高效统计。

八、莫队算法总结与进阶

经过前面的逐步讲解，我们已详细解析了莫队算法的基本应用及其各种优化，包括普通莫队、带修改莫队、树上莫队、回滚莫队、二维莫队、二次离线优化以及莫队结合 bitset。在本节中，将进一步总结莫队算法的应用场景，分析优缺点，并探讨更多进阶内容，如与其他算法的结合及特殊优化场景。

1. 莫队算法的核心思想回顾

莫队算法通过离线排序和分块思想解决查询问题，其核心特点为：

  • 分块减少复杂度：将区间查询问题划分为多个小块，每块内单独维护状态，降低总体时间复杂度。
  • 离线排序优化查询顺序：通过重新排列查询顺序，使得区间调整的代价最小化。
  • 动态区间调整：通过左右端点移动 (add 和 remove 操作) 动态维护区间状态。

2. 莫队算法的适用场景

莫队算法适用于以下类型的问题：

  1. 静态区间查询问题：
    • 如区间和、区间最大值、区间最小值、区间众数等。
  2. 动态修改与查询混合问题：
    • 如带修改的区间统计、区间最大值等需要同时支持修改和查询的问题。
  3. 复杂统计或布尔问题：
    • 如区间内的子集和、区间内满足某条件的元素统计。
  4. 结构简单但查询次数多的问题：
    • 数据规模大、查询次数多但要求无需实时更新（离线计算）。

3. 莫队算法的优缺点

优点：
  • 时间复杂度低：常规问题可降至 $O((n+q) \cdot \sqrt{n})$。
  • 简单易实现：只需实现 add 和 remove 操作。
  • 灵活性强：可扩展到多种复杂问题，通过结合其他技术（如回滚、bitset、二维分块等）进一步优化。
缺点：
  • 在线性更新场景不适用：必须离线排序，无法处理在线查询。
  • 对数据结构要求高：需要根据问题设计高效的区间维护方法，部分问题难以实现逆运算。
  • 对于小规模问题效率低：当数据量和查询次数都较小时，莫队的常数较大，表现可能不如简单算法。

4. 莫队算法的扩展与优化

以下是一些莫队算法的进阶应用和优化思路：

（1）结合其他数据结构
  • 与树状数组结合：
    • 适用于维护区间内频率统计问题。例如，计算区间内某值出现的次数。
    • 在 add 和 remove 操作中动态更新树状数组。
  • 与线段树结合：
    • 用线段树替代分块，用于处理区间的动态统计，如最小值或最大值。
（2）多维场景的优化
  • 二维莫队：
    • 适用于二维平面上的查询问题，如点对之间的距离统计。
    • 按二维坐标离线排序，结合左右上下四个方向的动态调整。
  • 多维分块：
    • 对于高维数据，可以通过对多维索引进行分块实现动态调整。
（3）值域压缩与位优化
  • 值域压缩：
    • 将大范围数据的值域映射到较小范围，减少内存占用和运算复杂度。
  • 结合 bitset 优化：
    • 利用 bitset 的硬件加速特性快速处理布尔运算和大范围统计问题。
（4）特殊问题的改进
  • 稀疏数组问题：
    • 当数据稀疏且分布不均时，可采用分块大小动态调整或跳表辅助优化。
  • 带权统计问题：
    • 将每个区间元素赋予权值，并动态维护加权结果。

5. 与其他算法的结合

莫队算法在许多场景中可以结合其他算法提升性能或扩展适用范围：

（1）与双指针结合
  • 双指针法：快速调整左右端点，减少 add 和 remove 的执行次数。
（2）与回滚技术结合
  • 回滚莫队：用于解决动态修改问题，回滚状态避免重复计算。
（3）与图算法结合
  • 树上莫队：处理树形结构上的查询问题，结合树的重心分解或欧拉序优化分块。

6. 进阶例题与分析

以下是一些具有挑战性的例题，体现莫队的应用价值及扩展能力。

（1）区间内的最大异或值
  • 给定一个数组，查询每个区间内的子数组的最大异或值。

思路：

  • 使用莫队结合 trie 数据结构动态维护当前区间的异或值集合。
（2）二维平面最近点对统计
  • 在二维平面上，查询每个矩形区域内最近的两点距离。

思路：

  • 将二维平面分块，按二维坐标排序查询，结合莫队动态调整。
（3）动态修改的众数问题
  • 查询每个区间的众数，并支持动态修改数组的元素值。

思路：

  • 结合莫队的回滚技术，通过计数器动态维护当前区间的众数。

7. 常见问题的复杂度比较

问题类型 算法 时间复杂度
静态区间查询 普通莫队 $ O((n+q) \cdot \sqrt{n}) $
带修改查询 带修改莫队 $ O((n+q) \cdot \sqrt{n}) $
树上查询 树上莫队 $ O((n+q) \cdot \sqrt{n}) $
二维范围查询 二维莫队 $ O((n+q) \cdot \sqrt{n+m}) $
子集和统计 莫队 + bitset $ O((n+q) \cdot \sqrt{n} \cdot m) $

8. 总结与下一步

莫队算法的强大在于它的通用性和扩展性，通过与其他算法或数据结构结合，可以轻松应对从简单查询到复杂动态问题的广泛场景。如果需要进一步了解特定应用的实现（如二维莫队、结合 trie 等），或者更深入的理论分析，请告诉我！

​

标签：idx,int,查询,Helped,queries,区间,ChatGPT,莫队
From： https://www.cnblogs.com/mycbxzd/p/18600285

相关文章

  • 强化学习（ChatGPT回答）：Reward Landscape —— 奖励分布图
    奖励景观（机器学习、强化学习）在强化学习中，RewardLandscape指的是奖励函数随着状态和行为的变化所形成的空间结构。它可以帮助理解智能体如何通过探索奖励的分布来优化策略。翻译：奖励景观；奖励分布图。例句：Theagentlearnstonavigatetherewardlandscapeeffectivel......
  • 【AIGC】ChatGPT保护指令：高效提升GPTs提示词与知识库文件的安全性
    博客主页：[小ᶻ☡꙳ᵃⁱᵍᶜ꙳]本文专栏:AIGC|GPTs应用实例文章目录......
  • ChatGPT的“超能力“升级！AI写作、编程、审阅样样行
    点击访问chatTools免费体验GPT最新模型，包括o1推理模型、GPT4o和Claude等模型！在科技圈，OpenAI再次掀起了一阵惊涛骇浪。就在今天，他们推出了全新的Canvas功能，直接颠覆了我们与AI交互的传统方式。全新协作模式：不只是聊天Canvas不再是简单的对话工具，而是一个真正的协作......
  • ChatGPT回答：机器学习中的 energy-based model 是什么?
    机器学习中的energy-basedmodel是什么？低能量对应高概率，高能量对应低概率。......
  • 掌握这10个ChatGPT使用方法，你的论文也可以写的与众不同！
    ChatGPT不仅可以协助完成论文写作的基本任务，还能够通过多样的提示词和独特的技巧来提升写作的创意性和学术深度。今天的分享，我们将详细介绍一些高效的ChatGPT使用方法和具体的提示词示例，帮助您更好地完成论文写作，提升文章质量。一键完成论文初稿，请关注底部微信公众号！1.反面......
  • 论文写完还没完！如何在ChatGPT的帮助下高效完成审稿
    审稿是论文发表或提交前的重要环节，涉及对内容完整性、逻辑性、创新性、语言表达等多个方面的评估。合理使用ChatGPT，可以使审稿过程更系统、更高效。今天分享的内容是使用ChatGPT完成论文审稿的详细步骤和操作示例，助您轻松完成高质量的审稿任务。一键完成论文初稿，请关注底部微......
  • 【人工智能】Moss-AI编程利器：CodeMoss & ChatGPT中文版超详细入门教程！(VScode/IDER/WE
    文章目录摘要一、环境介绍VSvode安装步骤IDER（Pycharm）安装步骤Web使用步骤二、Moss9大功能讲解1、AI问答对话2、文件上传功能3、自定义AI助手4、AI联网助手5、AI图片识别6、思维链思维链的简单介绍使用CodeMoss思维链7、AI图片生成图片生成效果8、图片生成代码9、......
  • 使用ChatGPT完成论文写作最全25类提示词库
    在学术写作的过程中，ChatGPT是一个强大的辅助工具，帮助高效完成从选题到最终润色的各个阶段。今天的内容将提供涵盖论文写作各个方面的最全提示词库，通过丰富的提示词示例帮助您更好地在不同环节使用ChatGPT，提高写作质量。一、开题报告与选题阶段1.确定研究方向与主题“请为......
  • 用了ChatGPT还是搞不定论文写作？试试这些提示词！
    在学术写作中，论文的写作过程通常包括选题、文献综述、数据分析、正文写作、引用管理等多个步骤。每个环节都需要大量的时间和精力投入，特别是在逻辑构建和内容组织方面。借助ChatGPT的智能生成能力，可以快速生成初稿、优化语言、进行资料查询，极大地提升写作效率。今天的分享将为......
  • 运用AI人工智能ChatGpt提升竞彩足球分析准确率最高的分析软件
    传统的足球竞猜往往会受到诸多因素的影响，而AI人工智能ChatGpt则能够通过分析海量的数据，快速准确地预测比赛结果。无论是球队的实力、战术的运用还是球员的状态，ChatGpt都能够凭借其强大的计算能力，对每个因素进行精确的权衡和预测。这使得用户可以更加全面地了解比赛，从而做出更为......

赞助商

阅读排行

网站主页关于我们联系我们网站地图

本网站内容转载自其他媒体，侵权联系[admin##ips99.com]。

Copyright © 2020-2023 IPS99 版权所有 IPS99