你是否曾为如何高效地修改数组中某个区间内所有元素的值而苦恼？差分算法，就像一把神奇的魔法棒，能帮你轻松实现区间修改。今天，就让我们一起揭开差分算法的神秘面纱，探索它在Java编程中的应用。
什么是差分？
定义
差分（Difference）可以看作是前缀和的逆运算。给定一个数组 a，其对应的差分数组 b 满足：
b[0] = a[0]b[i] = a[i] - a[i-1]对于i > 0
例如，对于原数组 [1, 2, 3, 4]，差分数组为 [1, 1, 1, 1]。
而原数组 a 可以通过差分数组 b 的前缀和来恢复。即：
a[i] = b[0] + b[1] + ... + b[i]
基本原理
差分的主要用途在于当我们需要对数组中的某个区间 [l, r] 内的所有元素加上或减去一个相同的值 c 时，我们可以只对差分数组进行两次操作：
b[l] += c，表示从位置l开始的元素都增加c。b[r+1] -= c（如果r+1存在），表示从位置r+1开始的元素减少c，从而抵消了对后续元素的影响。
应用场景
差分算法常用于以下场景：
- 区间更新：当需要对数组中的一段区间内的所有元素执行相同的加减操作时。
- 区间统计：如统计数组中某个区间内满足某种条件的元素个数。
- 前缀和或后缀和
- 差值问题
- 优化时间复杂度：通过差分数组，我们可以将多次区间操作的时间复杂度降低到 O(n)。
如何使用差分？
实现步骤
使用差分解决问题的一般步骤如下：
-
初始化差分数组：创建一个与原数组长度相同的差分数组，并根据原数组计算初始的差分值。
-
执行区间更新：对于每个区间更新操作，调整差分数组中的相应位置。
-
还原原始数组：通过对差分数组求前缀和，得到最终的更新后的数组。
注意事项
- 差分数组的长度：差分数组的长度比原数组多 1。
- 区间修改的处理：需要正确处理区间起始位置和结束位置的偏移。
- 空间复杂度：虽然差分数组提供了时间效率上的优势，但也会占用额外的空间，因此在内存有限的情况下需要注意。
LeetCode实战解析
入门题：1109. 航班预订统计
题目链接：1109. 航班预订统计
题目描述：有 n 个航班，按顺序编号为 1 到 n。我们有 k 个预定记录，每个记录包含两个整数 i 和 j，表示第 i 个航班到第 j 个航班之间（包括两端）的座位被预订了一次。请返回一个长度为 n 的数组，其中答案 [k] 表示第 k 个航班上预订的座位总数。
解题思路
这个问题可以通过差分数组来解决。我们创建一个大小为 n+1 的差分数组 diff，然后遍历每个预订记录，对差分数组的相应位置进行更新。最后，通过前缀和的方式计算出每个航班的预订座位数。
Java代码实现
class Solution {
public int[] corpFlightBookings(int[][] bookings, int n) {
int[] diff = new int[n + 1];
for (int[] booking : bookings) {
int start = booking[0], end = booking[1], seats = booking[2];
diff[start - 1] += seats;
if (end < n) {
diff[end] -= seats;
}
}
// 计算前缀和
int[] result = new int[n];
result[0] = diff[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
result[i] = result[i - 1] + diff[i];
}
return result;
}
}
中等题：1456. 定长子串中元音的最大数目
题目链接：1456. 定长子串中元音的最大数目
题目描述：给你一个字符串 s 和一个整数 k，请你返回 s 中长度为 k 的子串中元音字母的最大数量。
解题思路
此题可以通过滑动窗口结合差分思想来解决。首先，我们需要定义一个辅助函数来判断字符是否为元音。接着，我们利用一个计数器来跟踪当前窗口内元音的数量，并通过滑动窗口来更新最大值。
Java代码实现
class Solution {
public int maxVowels(String s, int k) {
int maxCount = 0, currentCount = 0;
for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
char c = s.charAt(i);
if (isVowel(c)) {
currentCount++;
}
if (i >= k && isVowel(s.charAt(i - k))) {
currentCount--;
}
maxCount = Math.max(maxCount, currentCount);
}
return maxCount;
}
private boolean isVowel(char c) {
return "aeiou".indexOf(c) != -1;
}
}
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结语
差分算法作为一种高效的算法技巧，能够显著提升区间增减值问题的解决效率。通过本文的学习，相信大家对差分算法有了更深入的理解。在实际应用中，差分算法虽然强大，但也需要注意边界条件的设定和操作的准确性。希望各位读者朋友能够在实践中灵活运用差分算法，解决更多的编程问题。如果有任何疑问或建议，欢迎在评论区留言交流！让我们一起享受编程的乐趣，不断探索和学习！
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