【恐怖の算法】 树型DP

引入

树形 DP，即在树上进行的 DP。由于树固有的递归性质，树形 DP 一般都是递归进行的。

基础

以下面这道题为例，介绍一下树形 DP 的一般过程。

洛谷P1352 没有上司的舞会

我们设 \(f(i,0/1)\) 代表以 \(i\) 为根的子树的最优解（第二维的值为 \(0\) 代表 \(i\) 不参加舞会的情况，\(1\) 代表 \(i\) 参加舞会的情况）。

对于每个状态，都存在两种决策（其中下面的 \(x\) 都是 \(i\) 的儿子）：

上司不参加舞会时，下属可以参加，也可以不参加，此时有 \(f(i,0) = \sum\max \{f(x,1),f(x,0)\}\)；

上司参加舞会时，下属都不会参加，此时有 \(f(i,1) = \sum{f(x,0)} + a_i\)。

我们可以通过 \(DFS\)，在返回上一层时更新当前结点的最优解。

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

struct edge {
  int v, next;
} e[6005];

int head[6005], n, cnt, f[6005][2], ans, is_h[6005], vis[6005];

void addedge(int u, int v) {  // 建图
  e[++cnt].v = v;
  e[cnt].next = head[u];
  head[u] = cnt;
}

void calc(int k) {
  vis[k] = 1;
  for (int i = head[k]; i; i = e[i].next) {  // 枚举该结点的每个子结点
    if (vis[e[i].v]) continue;
    calc(e[i].v);
    f[k][1] += f[e[i].v][0];
    f[k][0] += max(f[e[i].v][0], f[e[i].v][1]);  // 转移方程
  }
  return;
}

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> f[i][1];
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int l, k;
    cin >> l >> k;
    is_h[l] = 1;
    addedge(k, l);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (!is_h[i]) {  // 从根结点开始DFS
      calc(i);
      cout << max(f[i][1], f[i][0]);
      return 0;
    }
}

通常，树形 \(DP\) 状态一般都为当前节点的最优解。先 \(DFS\) 遍历子树的所有最优解，然后向上传递给子树的父节点来转移，最终根节点的值即为所求的最优解.

噩梦算法の终结~