B. Concave Hull

题目描述

简单多边形是平面中由线段组成的闭合曲线，这些线段首尾相连，除了因连接共用的线段端点，任何两
个线段都不能彼此相交。

简单多边形可以分为两类：凸多边形和凹多边形。一个凸多边形是指：多边形中任意两点间的线段上的
所有点都在多边形内，包括在内部或边界上。不是凸多边形的简单多边形就是凹多边形。如图，左边
是一个凸多边形，右边是一个凹多边形。

现在，给定 n 个点，满足所有点互不相同，且不存在三个点在同一条直线上。你的任务是选择这 n 个点
中的一些点（可以全选），并按照任意顺序依次连边，最后需要连成一个面积严格大于 0 的凹多边形。
你需要求出能形成的凹多边形的面积最大是多少。

输入描述

第一行一个正整数 \(T\) \((1 \leq T \leq 10^4)\)，表示数据组数。

对于每组数据，第一行一个正整数 \(n\) \((3 \leq n \leq 10^5)\)，表示点数。

接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(x_i\), \(y_i\) \((−10^9 \leq x_i, y_i \leq 10^9)\)，表示各个点的坐标。保证所有点的坐标互不相
同，且不存在三点共线。

各个测试数据组的 \(n\) 之和不超过 \(2 · 10^5\)。

输出描述

对于每组数据，如果不能形成面积严格大于 \(0\) 的凹多边形，输出 \(−1\)；否则，输出一个正整数，表示形成的最大的凹多边形的面积的两倍。可以证明这个答案是一个正整数。

解题思路

对于凸多边形来说，显然凸包就是答案，而凹多边形的最大面积显然就是将凸包上的某一点由凸变凹（去掉那个小三角形），也就是枚举凸包上的边并找到离这个边最近的点，直接暴力枚举会超时，但是不难发现这些点都有个特征：它们都位于去除构成凸包的点后，剩余点构成的凸包上，因此双指针扫描一遍即可。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

struct Point {
    int x, y;

    bool operator<(const Point &p) const {
        return x < p.x || (x == p.x && y < p.y);
    }

    bool operator==(const Point &p) const {
        return x == p.x && y == p.y;
    }

};

// 向量叉积求三点面积的两倍
int cross(Point a, Point b, Point c) {
    return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y) * (c.x - a.x);
}

// andrew构建凸包
std::vector<Point> andrew(std::vector<Point> points) {
    std::sort(points.begin(), points.end());
    std::vector<Point> hull;

    // 需要特判一下剩余点集不能构成封闭图形的情况
    if (points.size() <= 2) {
        return points;
    }

    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        int st = hull.size();
        for (const auto p: points) {
            while (hull.size() >= st + 2 && cross(hull[hull.size() - 2], hull.back(), p) <= 0) {
                hull.pop_back();
            }
            hull.push_back(p);
        }
        hull.pop_back();
        std::reverse(points.begin(), points.end());
    }

    if (hull.size() > 1 && hull.front() == hull.back()) {
        hull.pop_back();
    }
    return hull;
}

// 求凸包面积
int area(const std::vector<Point> &points) {
    int res = 0;
    int n = points.size();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = (i + 1) % n;
        res += points[i].x * points[j].y - points[j].x * points[i].y;
    }
    return std::abs(res);
}


signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);

    int t;
    std::cin >> t;

    while (t--) {
        int n;
        std::cin >> n;

        std::vector<Point> points1(n), points2;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            std::cin >> points1[i].x >> points1[i].y;
        }

        // 构建外层凸包
        std::vector<Point> hull1 = andrew(points1), hull2;
        std::set<Point> st;
        for (auto p: hull1) {
            st.insert(p);
        }

        for (auto p: points1) {
            if (!st.count(p)) {
                points2.push_back(p);
            }
        }

        // 构建内层凸包
        hull2 = andrew(points2);

        // 特判点集只能构成凸包
        if (hull2.size() == 0) {
            std::cout << -1 << "\n";
            continue;
        }


        int pos = 0, min1 = 4e18, siz1 = hull1.size(), siz2 = hull2.size();
        Point p1 = hull1[0], p2 = hull1[1];
        for (int i = 0; i < siz2; i++) {
            Point p3 = hull2[i];
            if (cross(p1, p2, p3) < min1) {  // 初始化需要去掉的最小面积并记录位置
                min1 = cross(p1, p2, p3);
                pos = i;
            }
        }

        // 末尾防越界直接开两倍
        for (int i = 0; i < siz2; i++) {
            hull2.push_back(hull2[i]);
        }
        siz2 = hull2.size();

        int lastpos = pos;  // 上一次最小的位置
        for (int i = 1; i < siz1; i++) {
            p1 = hull1[i], p2 = hull1[i + 1];  // 枚举外层凸包上的点
            lastpos = pos;
            int min2 = 4e18;
            while (lastpos < siz2) {  // 枚举内层凸包上的点
                Point p3 = hull2[lastpos];
                if (min2 > cross(p1, p2, p3)) {
                    min2 = cross(p1, p2, p3);
                    min1 = std::min(min1, min2);  // 更新最小值和位置
                    pos = lastpos;
                    lastpos++;
                } else {
                    break;
                }
            }
        }

        std::cout << area(hull1) - min1 << "\n";
    }
}