1.复杂度的概念
算法在编写成可执⾏程序后，运⾏时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量⼀个算法的好 坏，⼀般是从时间和空间两个维度来衡量的，即 时间复杂度和空间复杂度 。 时间复杂度主要衡量⼀个算法的运⾏快慢，⽽空间复杂度主要衡量⼀个算法运⾏所需要的额外空间。 在计算机发展的早期，计算机的存储容量很⼩。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机⾏业的 迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很⾼的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注⼀个算法 的空间复杂度。2.时间复杂度
定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)，它定量描述了该算法的运⾏时间。
时 间复杂度是衡量程序的时间效率，那么为什么不去计算程序的运⾏时间呢？1. 因为程序运⾏时间和编译环境和运⾏机器的配置都有关系，⽐如同⼀个算法程序，⽤⼀个⽼编译 器进⾏编译和新编译器编译，在同样机器下运⾏时间不同。 2. 同⼀个算法程序，⽤⼀个⽼低配置机器和新⾼配置机器，运⾏时间也不同。 3 并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。
3.⼤O的渐进表⽰法
⼤O符号（Big O notation）：是⽤于描述函数渐进⾏为的数学符号推导⼤O阶规则 1. 时间复杂度函数式 T(N) 中，只保留最⾼阶项，去掉那些低阶项，因为当 N 不断变⼤时， 低阶项对结果影响越来越⼩，当 N ⽆穷⼤时，就可以忽略不计了。 2. 如果最⾼阶项存在且不是 1 ，则去除这个项⽬的常数系数，因为当 N 不断变⼤，这个系数 对结果影响越来越⼩，当 N ⽆穷⼤时，就可以忽略不计了。 3. T(N) 中如果没有 N 相关的项⽬，只有常数项，⽤常数 1 取代所有加法常数。
计算示例
实例1
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实例2
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++
k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例3
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例4
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char* str, int character)
{
const char* p_begin = str;
while (*p_begin != character)
{
if (*p_begin == '\0')
return NULL;
p_begin++;
}
return p_begin;
}
注意
通过上⾯我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。 最坏情况：任意输⼊规模的最⼤运⾏次数(上界) 平均情况：任意输⼊规模的期望运⾏次数 最好情况：任意输⼊规模的最⼩运⾏次数(下界) ⼤O的渐进表⽰法在实际中⼀般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运⾏情况。
实例5
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例6
void func5(int n)
{
int cnt = 1;
while (cnt < n)
{
cnt *= 2;
}
}
实例 7
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}阶乘递归的时间复杂度为： O(n)
4. 空间复杂度
空间复杂度也是⼀个数学表达式，是对⼀个算法在运⾏过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。 空间复杂度不是程序占⽤了多少bytes的空间，因为常规情况每个对象⼤⼩差异不会很⼤，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使⽤⼤O渐进表⽰法。 注意：函数运⾏时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、⼀些寄存器信息等)在编译期间已经确定好 了，因 此空间复杂度主要通过函数在运⾏时候显式申请的额外空间来确定// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}5.复杂度算法题
旋转数组 https://leetcode.cn/problems/rotate-array/description/
时间复杂度 O(n2)
循环K次将数组所有元素向后移动⼀位（代码不通过）
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
while(k--)
{
int end = nums[numsSize-1];
for(int i = numsSize - 1;i > 0 ;i--)
{
nums[i] = nums[i-1];
}
nums[0] = end;
}
}空间复杂度 O(n)
申请新数组空间，先将后k个数据放到新数组中，再将剩下的数据挪到新数组中
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
int newArr[numsSize];
for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
{
newArr[(i + k) % numsSize] = nums[i];
}
for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
{
nums[i] = newArr[i];
}
}前n-k个逆置：4 3 2 15 6 7
• 后k个逆置 ：4 3 2 17 6 5
• 整体逆置 ：5 6 7 1 2 3 4
void reverse(int* nums,int begin,int end)
{
while(begin<end){
int tmp = nums[begin];
nums[begin] = nums[end];
nums[end] = tmp;
begin++;
end--;
}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
k = k%numsSize;
reverse(nums,0,numsSize-k-1);
reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);
reverse(nums,0,numsSize-1);
}
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