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1.摘要
在实际的工程优化问题中，耗时的目标函数是不可避免的。这类函数使得元启发式方法的实现充满挑战，因为设计者必须在最终解的质量和优化过程的总体运行时间之间做出权衡。本文提出了一种名为FC-MOEO/AEP的多目标优化算法，适用于处理耗时较长的目标函数。该算法基于平衡优化算法EO，并配备了档案演化路径（AEP）机制。AEP机制考虑了决策空间的进化轨迹，并预测了潜在的最优解区域。除了具有较高的收敛速度外，该新方法还能够在探索和开发能力之间平衡，使算法能够有效避免陷入局部Pareto解集。
2.基于档案演化路径机制的快速收敛多目标平衡优化算法(FC‑MOEO/AEP)
2.1 单目标平衡优化算法EO
2.2 多目标平衡优化算法FC‑MOEO/AEP
在处理多目标问题时，我们采用Maxmin函数来比较和排名解。第k个解的maxmin值可以表示如下：
f
max
i
min
k
=
max
j
=
1
,
2
,
…
,
n
;
j
≠
k
{
min
i
=
1
,
2
,
…
,
M
{
f
i
(
x
k
)
−
f
i
(
x
j
)
}
}
f_{\max}^{i\text{min}k}=\max_{j=1,2,\ldots,n;j\neq k}\left\{\min_{i=1,2,\ldots,M}\{f_i(x_k)-f_i(x_j)\} \right\}
fmaximink=j=1,2,…,n;j=kmax{i=1,2,…,Mmin{fi(xk)−fi(xj)}}
其中 n 是种群大小，m 是目标数量。在这个等式中，首先使用 min 运算符计算所有目标函数的最小值，再对除第k个解之外的所有解应用 max 运算符。可能存在以下几个结论：（i）任何 maximin 值大于 0 的解都是被支配的解（ii）任何 maximin 值小于 0 的解都是非被支配的解（iii）maximin 值较小的解位于非密集区域。
FC-MOEO/AEP算法是一个复杂的多目标优化框架，旨在处理同时具有多个相互冲突目标的问题。FC-MOEO/AEP算法随机生成一个初始种群，并计算每个个体的目标函数值。定义并维护一个有限容量的外部存档，每次迭代时更新，将当前的非支配解插入存档，同时删除被支配的解。使用两种机制（EO和AEP）生成新解，每次迭代生成两倍于群体大小的解，但只从中选择最佳的一半解作为下一代群体。选择过程使用maxmin函数，优先选择maxmin值较小的解，这些解通常位于非密集区域。
流程图
伪代码
档案演化路径
Song等人提出了基于路径演化算子，目的是生成具有高潜力的解决方案。这种方法的核心是通过分析主群体在决策空间的运动来计算进化路径（EP）向量。然而，该方法存在两个主要的缺陷：首先，它假设每一代的群体总是比前一代更优，但实际上并非总是如此。在某些情况下，一代的表现可能不如其前一代，此时计算得到的EP向量无法有效指导生成有潜力的解，并可能误导算法的方向。其次，EP向量的计算仅依赖于当前和前一代群体的数据，这忽略了多代间的演化信息，从而可能限制了进化路径的准确估计。
为克服这些限制，提出了改进的AEP机制，与平衡优化算法协同工作。AEP机制利用存档成员的演化历程，这些成员代表了迄今为止找到的最佳解。存档的不断演化使得能够更准确地估计演化路径。在AEP机制中，关键的元素是ACRep向量，它基于过去步骤的经验更新，并用于预测决策空间中的潜在区域，从而提高整个优化过程的效率和准确性:
ACRep
‾
=
Archive Center
c
−
Archive Center
j
\overline{\text{ACRep}}=\text{Archive Center}_c-\text{Archive Center}_j
ACRep=Archive Centerc−Archive Centerj
在计算了ACRep向量后，必须从存档中选择N个解来生成使用这些解的新AEP解。我们采用轮盘赌选择方法从存档中选择这些解，因此位于非密集区域的解将有更好的被选择机会:
C
A
E
P
=
α
×
A
C
R
e
p
‾
×
r
a
n
d
+
C
s
e
l
e
c
t
e
d
C_{\mathrm{AEP}}=\alpha\times\overline{\mathrm{ACRep}}\times\mathrm{rand}+C_{\mathrm{selected}}
CAEP=α×ACRep×rand+Cselected
3.结果展示
包括多目标CEC2009，CEC2020，DTLZ，ZDT测试集
4.参考文献
[1] Ilchi Ghazaan M, Ghaderi P, Rezaeizadeh A. A fast convergence EO-based multi-objective optimization algorithm using archive evolution path and its application to engineering design problems[J]. The Journal of Supercomputing, 2023, 79(16): 18849-18885.