牛顿插值法-C++【可直接复制粘贴/欢迎评论点赞】

牛顿插值法是一种基于给定数据点集构造插值多项式的方法，用于近似未知函数的值。该方法通过构造差商表并利用该表逐步构建插值多项式。相较于拉格朗日插值法，牛顿插值法的一个显著优势是，当需要增加插值点时，只需重附上一项即可，无需重新计算所有插值点的值。

基本概念

牛顿插值法的基本思想是根据给定的数据点集合(x0​,f(x0​)),(x1​,f(x1​)),…,(xn​,f(xn​))，构造一个以自变量值为节点的差商表，并利用该差商表构造插值多项式。

C++实现

下面是一个使用C++实现的牛顿插值法的示例代码：

#include<iostream>  
#include<iomanip>  
#include<vector>  
using namespace std;  
  
double NewtonInterPol(double arrX[], double arrY[], int n, double x) {  
    vector<vector<double>> table(n);  
    for (int i = 0; i < n; i++) {  
        table[i].resize(n);  
    }  
      
    // 填充差商表的第一列（即y值）  
    for (int i = 0; i < n; i++) {  
        table[i][0] = arrY[i];  
    }  
      
    // 计算差商表的其他列  
    for (int j = 1; j < n; j++) {  
        for (int i = 0; i < n - j; i++) {  
             
                table[i][j] = (table[i + 1][j - 1] - table[i][j - 1]) / (arrX[i + j] - arrX[i]);  
           
        }  
    }  
      
    // 使用牛顿插值公式计算插值结果  
    double result = table[0][0];  
    for (int j = 1; j < n; j++) {  
        double term = table[0][j];  
        for (int i = 1; i <= j; i++) {  
            term *= (x - arrX[i - 1]);  
        }  
        result += term;  
    }  
      
    return result;  
}  
  
int main() {  
    int n = 0;  
    double arrX[50], arrY[50];  
    double x;
    string laug;  
      cin>>laug;
    // 输入数据点数量  
    cin >> n;  
      
    // 输入数据点坐标  
    for (int i = 0; i < n; i++) {  
        cin >> arrX[i];  
    }  
    for (int i = 0; i < n; i++) {  
        cin >> arrY[i];  
    }  
      
    // 输入插值点 x  
    cin >> x;  
      
    // 计算并输出插值结果  
    double result = NewtonInterPol(arrX, arrY, n, x);  
    cout  << fixed << setprecision(5) << result ;  
      
    return 0;  
}
    

注意事项

1. 数据点有序：输入的数据点需要按照自变量的值进行排序。
2. 节点数量：选择适当的节点数量，节点数量过多会增加计算量。
3. 误差控制：通过增加插值节点的数量可以控制插值多项式的误差，但过多的节点可能导致插值多项式在数据点外不精确。

牛顿插值法以其计算简单、灵活控制误差等优点，在数值分析领域有着广泛的应用。通过上述C++代码，我们可以轻松实现并应用牛顿插值法来处理实际问题。