0.1+0.2 != 0.3 (Java为例)

1. 小数的二进制表示

以10.625为例。整数部分进行除2取余的操作，10的二进制为1010。小数部分进行乘2取整操作，直到小数部分为0或达到需要的精度：

• 0.625*2=1.25 取整数1，小数部分0.25继续计算
• 0.25*2=0.5 取整数0，小数部分0.5继续计算
• 0.5*2=1.0 取整数1，小数部分为0，停止计算

因此0.625对应的二进制为101。10.625对应的二进制为1010.101。

可以发现，一些小数对应的二进制数是无法精确表示出来的。例如0.1的二进制数为：

• 0.1*2=0.2 取整数0，小数部分0.2继续计算
• 0.2*2=0.4 取整数0，小数部分0.4继续计算
• 0.4*2=0.8 取整数0，小数部分0.8继续计算
• 0.8*2=1.6 取整数1，小数部分0.6继续计算
• 0.6*2=1.2 取整数1，小数部分0.2继续计算
• 产生循环

因此，0.1对应的二进制数为：0.00011001100110011...

2. IEEE 754标准

二进制浮点数算术标准，详见百度。这里仅以double为例，不涉及float。

IEEE 754定义的double(64-bit)由三部分组成：

• 符号位(1-bit)： 0表示正数，1表示负数
• 指数位(11-bit)：表示浮点数的指数，采用偏移量的存储方式，偏移值为1023
• 尾数位(52-bit)：表示有效数字，默认是1.xxxx的形式

例如，10.625对应的二进制为1010.101，小数点左移3位得到其标准化形式为：1.010101*2^3。指数为3，加上偏移量1023，可得指数位为1026。相应的二进制为10000000010。尾数位则为010101。故10.625符合IEEE 754标准的二进制为：

0 10000000010 01010100000000...补齐52bit。

在Java中对比一下：

double d1=10.625;
long valBits=Double.doubleToLongBits(d1);
System.out.println(Long.toBinaryString(valBits));

// 输出为：100000000100101010000000000000000000000000000000000000000000000，前面加个0，补齐64-bit

类似地，0.1的二进制标准化形式为：1.1001100110011...*2^(-4)。指数为-4，加上偏移量1023，则指数位为：1019，二进制为01111111011。故0.1符合IEEE 754的二进制为：

0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

符合IEEE 754标准的二进制数再转换为十进制，可使用如下公式：

其中，e为指数位对应的十进制数，f为尾数位对应的十进制数(小数)。

先不考虑符号sign和f部分的系数(即二进制中的0和1)，可知：

利用上述公式计算得到符合IEEE 754标准的0.1的二进制再转换为十进制的值为：

3. 0.1+0.2=？

0.1符合IEEE 754标准的二进制表示为(指数位为1019，指数为-4)：

0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.2符合IEEE 754标准的二进制表示为(指数位为1020，指数为-3)：

0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

先将二者的指数对齐(向大指数对齐)。即0.1的尾数右移一位(相当于小数点左移一位)。移位后尾数变为：

1100110011001100110011001100110011001100110011001101

然后与0.2的尾数相加可得：

0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101 +

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010=

10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111

将尾数标准化，指数+1，尾数右移1位。

0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)

可见末尾的1会被移除掉，这时会向上舍入(如果末尾是0，则直接舍掉了)，尾数变为了：

0011001100110011001100110011001100110011001100110100

最终0.1+0.2的结果的二进制为：

0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110100 

转换为十进制为：0.300000000000000044408920985006261616945266723632812500

public static void main(String[] args){
    double d1=0.1;
    double d2=0.2;
    double d3=d1+d2;
    
    System.out.println(d3);
}
// 输出为：0.30000000000000004

但是0.3符合IEEE 754标准的二进制是：

0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110011 

转换为十进制为：0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875