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一、什么是堆
九月在老家是收割水稻的月份，每次打完水稻，农民伯伯就会拿稻杆累成一堆。我觉得这个稻杆堆和数据结构 堆 外形有点相似哈。
堆是一棵完全二叉树， 但是这个完全二叉树要满足条件：其中任意一个结点要 >= 其左孩子结点和有孩子结点，这叫大根堆；其中任意一个结点要 <= 其左孩子结点和有孩子结点，这叫小根堆。
堆的逻辑结构是一棵完全二叉树，但是其所有的元素是按完全二叉树的层序存储在一个一维数组当中的（物理结构是一维数组）。
二、堆的存储方式
堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储。对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储。
那么对于存储到数组中的堆，也要会还原成二叉树。
对于数组中的下标i
- 如果i=0，则i表示为根节点，否则i结点的双亲为（i-1）/ 2
- 对于i，如果 i * 2 + 1 小于数组的长度，则i的左孩子为 i * 2 + 1，否则无左孩子。
- 对于i，如果 i * 2 + 2 小于数组的长度，则i的右孩子为 i * 2 + 2，否则无右孩子。
三、堆的创建
堆的创建有两种方式：向下调整和向上调整。
向下调整
对于一个不是堆的任意一个数组，采用向下调整为大根堆 我们可以这样做：
先调整最下面的每一层子二叉树变大根堆，再一层一层往上面调整，那么整棵树到最后也就变为大根堆了。
- 1.先找到最后一个根结点 (叫child结点），再找child的父节点（叫parent 结点）。
- 2.比较父结点与 左右孩子结点中最大的孩子结点的大小，如果大于最大孩子结点则不交换，小于则交换两结点 parent=child,child=child*2+1 同时child 要在数组有效数据的范围内。
- parent - -，重复2，parent要在数组范围内。
代码
public class TestHeap {
//堆存在一维数组elem中
public int[] elem;
//堆中的元素个数
public int usedSize;
public TestHeap() {
this.elem = new int[10];
}
//先初始化数组
public void initElem(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
this.elem[i] = array[i];
usedSize++;
}
}
//创建堆
public void createHeap() {
//先调整最下面的每一层子二叉树变大根堆，再一层一层往上面调整。
for (int parent = (elem.length-1-1)/2; parent >= 0 ;parent--) {
siftDown(parent,this.usedSize);
}
}
//向下调整
private void siftDown(int parent, int usedSize) {
int child = parent*2+1;
//求出左右孩子中最大的孩子
while(child<usedSize) {
if(child+1<usedSize && elem[child]<elem[child+1]) {
child++;
}
if(elem[child]>elem[parent]) {
//大于就交换
int tmp = elem[parent];
elem[parent] = elem[child];
elem[child] = tmp;
//再看下其孩子树是否要交换
parent = child;
child = 2 * parent + 1;
}else {
break;
}
}
}
//打印elem数组
public void printElem() {
System.out.println(Arrays.toString(elem));
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
TestHeap heap = new TestHeap();
heap.initElem(arr);
heap.createHeap();
heap.printElem();
}
}
如果想要得到小根堆，就只需求得左右孩子最小，在与父结点相比，如果父结点大则交换，否则不交换。
向上调整
因为向上调整是堆的插入的一个步骤，所以在后面写到。
四、堆的时间复杂度
向下调整建堆的时间复杂度为O(n)。向下调整建堆也是一般常用的建堆方法。
向上调整建堆的时间复杂度为O(n*log n )
五、堆的插入与删除
堆的插入：
-
- 先将元素插入到数组的后面（二叉树的最后一个元素），如果数组空间不够，则需扩容。
-
- 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质。
向上调整为大根堆我们可以这样做：
- 1.先找到最后一个根结点 (叫child结点），再找child的父节点（叫parent 结点）。
- 2.比较父结点与 左右孩子结点中最大的孩子结点的大小，如果大于最大孩子结点则不交换，小于则交换两结点 child = parent,parent=(parent-1)/2 同时child 要>0。
//插入数据
public void push(int val) {
if(isFull()) {
this.elem = Arrays.copyOf(elem,elem.length*2);
}
elem[this.usedSize] = val;
siftUp(usedSize);
this.usedSize++;
}
//向上调整
private void siftUp(int usedSize) {
int child = usedSize;
int parent = (usedSize-1)/2;
while(parent>=0) {
if(elem[child]>elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (parent-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
//判断数组是否满
private boolean isFull() {
return usedSize==elem.length;
}
如果想让向上调整一个不是堆结构的数组为堆，就要一个一个数据的插入。
向上调整也可以调整为小根堆的。
堆的删除
堆的删除一定删除的是堆顶元素。
具体如下：
- 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
- 将堆中有效数据个数减少一个
- 对堆顶元素进行向下调整
常见习题
1.下列关键字序列为堆的是:()
A: 100,60,70,50,32,65
B: 60,70,65,50,32,100
C: 65,100,70,32,50,60
D: 70,65,100,32,50,60
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字8之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是()
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
3.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是()
A: [3，2，5，7，4，6，8]
B: [2，3，5，7，4，6，8]
C: [2，3，4，5，7，8，6]
D: [2，3，4，5，6，7，8]
[参考答案]
1.A
2.C
3.C
完整代码
package Tree;
import java.util.Arrays;
public class TestHeap {
public int[] elem;
public int usedSize;
public TestHeap() {
this.elem = new int[10];
}
public void initElem(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
this.elem[i] = array[i];
usedSize++;
}
}
public void createHeap() {
for (int parent = (elem.length-1-1)/2; parent >= 0 ;parent--) {
siftDown(parent,this.usedSize);
}
}
//向下调整
private void siftDown(int parent, int usedSize) {
int child = parent*2+1;
while(child<usedSize) {
if(child+1<usedSize && elem[child]<elem[child+1]) {
child++;
}
if(elem[child]>elem[parent]) {
int tmp = elem[parent];
elem[parent] = elem[child];
elem[child] = tmp;
parent = child;
child = 2 * child + 1;
}else {
break;
}
}
}
//简单打印数组
public void printElem() {
System.out.println(Arrays.toString(elem));
}
//插入元素
public void push(int val) {
if(isFull()) {
this.elem = Arrays.copyOf(elem,elem.length*2);
}
elem[this.usedSize] = val;
siftUp(usedSize);
this.usedSize++;
}
//向上调整
private void siftUp(int usedSize) {
int child = usedSize;
int parent = (usedSize-1)/2;
while(parent>=0) {
if(elem[child]>elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (parent-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
public boolean isFull() {
return usedSize==elem.length;
}
//出堆头元素
public int poll() {
if(isEmpty()) {
return -1;// 抛出异常
}
int tmp = elem[usedSize-1];
elem[usedSize-1] = elem[0];
elem[0] = tmp;
usedSize--;
siftDown(0,usedSize);
return tmp;
}
public boolean isEmpty() {
return usedSize==0;
}
//取堆头元素
public int peek() {
if(isEmpty()) {
return -1;
}
return elem[0];
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {27,49,65,25,37,34,19,18,15,28};
TestHeap heap = new TestHeap();
heap.initElem(arr);
heap.createHeap();
heap.printElem();
//80入堆
heap.push(80);
heap.printElem();
//80出堆
heap.poll();
heap.printElem();
}
}