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1、树的相关概念
1、树的基本定义
树是我们计算机中非常重要的一种数据结构,同时使用树这种数据结构,可以描述现实生活中的很多事物,例如家谱、单位的组织架构、等等。
树是由n(n>=1)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
树具有以下特点:
- 每个结点有零个或多个子结点;
- 没有父结点的结点为根结点;
- 每一个非根结点只有一个父结点;
- 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树,称为当前结点的父结点的一个子树;
2、相关术语
1、结点的度
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度;
2、叶子结点
度为0的结点称为叶结点,也可以叫做终端结点
3、分支结点
度不为0的结点称为分支结点,也可以叫做非终端结点
4、结点的层次
从根结点开始,根结点的层次为1,根的直接后继层次为2,以此类推
5、结点的层序编号
将树中的结点,按照从上层到下层,同层从左到右的次序排成一个线性序列,把他们编成连续的自然数。
6、树的度
树中所有结点的度的最大值
7、树的高度(深度)
树中结点的最大层次
8、森林
m(m>=0)个互不相交的树的集合,将一颗非空树的根结点删去,树就变成一个森林;给森林增加一个统一的根结点,森林就变成一棵树
9、孩子结点
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
10、双亲结点(父结点)
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
11、兄弟结点
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
2、二叉树
二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)
1、相关二叉树
1、满二叉树
一个二叉树,如果每一个层的结点树都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。
2、完全二叉树
叶节点只能出现在最下层和次下层,并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
2、创建二叉查找树
1、API设计
- 结点类
类名 | Node<Key,Value> |
构造方法 | Node(Key key, Value value, Node left, Node right):创建Node对象 |
成员变量 | 1.public Node left:记录左子结点 2.public Node right:记录右子结点 3.public Key key:存储键 4.public Value value:存储值 |
- 二叉树
类名 | BinaryTree<Key,value> |
构造方法 | BinaryTree():创建BinaryTree对象 |
成员变量 | 1.private Node root:记录根结点 2.private int N:记录树中元素的个数 |
成员方法 | 1. public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 2.private Node put(Node x, Key key, Value val):给指定树x上,添加键一个键值对,并返回添加后的新树 3.public Value get(Key key):根据key,从树中找出对应的值 4.private Value get(Node x, Key key):从指定的树x中,找出key对应的值 5.public void delete(Key key):根据key,删除树中对应的键值对 6.private Node delete(Node x, Key key):删除指定树x上的键为key的键值对,并返回删除后的新树 7.public int size():获取树中元素的个数 |
1、put方法实现思路
- 如果当前树中没有任何一个结点,则直接把新结点当做根结点使用
- 如果当前树不为空,则从根结点开始:
- 如果新结点的key小于当前结点的key,则继续找当前结点的左子结点;
- 如果新结点的key大于当前结点的key,则继续找当前结点的右子结点;
- 如果新结点的key等于当前结点的key,则树中已经存在这样的结点,替换该结点的value值即可。
/**
* 给指定树x上,添加键一个键值对,并返回添加后的新树
* @param x 树节点
* @param key 键
* @param val 值
* @return Node
*/
public Node<Key, Value> put(Node<Key,Value> x, Key key, Value val){
//当树为空时,该节点为根节点
if(null == x){
size++;
return new Node<>(key, val, null, null);
}
int compare = key.compareTo(x.key);
//如果compare > 0 ,则 key > x.key;继续x的右子节点
if(0 < compare){
x.right = put(x.right,key,val);
}else if(0 > compare){
//如果compare < 0 ,则 key < x.key;继续x的左子节点
x.left = put(x.left,key,val);
}else {
//如果compare = 0 ,则 key = x.key;替换x.value的值
x.value = val;
}
return x;
}
2、get方法实现思路
从根节点开始:
- 如果要查询的key小于当前结点的key,则继续找当前结点的左子结点;
- 如果要查询的key大于当前结点的key,则继续找当前结点的右子结点;
- 如果要查询的key等于当前结点的key,则树中返回当前结点的value。
/**
* 从指定的树x中,找出key对应的值
* @param x 节点
* @param key 键
* @return 节点
*/
public Value getNode(Node<Key,Value> x, Key key){
if (null == x){
return null;
}
int compare = key.compareTo(x.key);
if(0 < compare){
return getNode(x.right,key);
}else if(0 > compare){
return getNode(x.left, key);
}else {
return x.value;
}
}
3、delete方法的实现思路
- 找到被删除结点;
- 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
- 删除右子树中的最小结点
- 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树,让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
- 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
/**
* 删除指定树x中的key对应的value,并返回删除后的新树
* @param x
* @param key
* @return
*/
public Node<Key,Value> delete(Node<Key, Value> x, Key key){
if (null == x){
return null;
}
int compare = key.compareTo(x.key);
if(0 < compare){
x.right = delete(x.right,key);
}else if(0 > compare){
x.left = delete(x.left,key);
}else {
//个数-1
size--;
//新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点
if(x.right == null){
return x.left;
}if(x.left == null){
return x.right;
}
//左右子结点都存在的情况下,找右子树最小的节点
Node<Key, Value> minRight = x.right;
while (null != minRight.left){
minRight = minRight.left;
}
Node<Key, Value> node = x.right;
while (node.left != null) {
if (node.left.left == null) {
node.left = null;
} else {
node = node.left;
}
}
//让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树,让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
minRight.left = x.left;
minRight.right = x.right;
//让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
x = minRight;
}
return x;
}
4、完整代码
package com.xiaobear.BinaryTree;
/**
* @Author xiaobear
* @date 2021年07月30日 13:50
* @Description 二叉树
*/
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> {
/**
* 根节点
*/
private Node<Key,Value> root;
/**
* 节点数量
*/
private int size;
public void put(Key key, Value val){
root = put(root,key,val);
}
/**
* 给指定树x上,添加键一个键值对,并返回添加后的新树
* @param x 树节点
* @param key 键
* @param val 值
* @return Node
*/
public Node<Key, Value> put(Node<Key,Value> x, Key key, Value val){
//当树为空时,该节点为根节点
if(null == x){
size++;
return new Node<>(key, val, null, null);
}
int compare = key.compareTo(x.key);
//如果compare > 0 ,则 key > x.key;继续x的右子节点
if(0 < compare){
x.right = put(x.right,key,val);
}else if(0 > compare){
//如果compare < 0 ,则 key < x.key;继续x的左子节点
x.left = put(x.left,key,val);
}else {
//如果compare = 0 ,则 key = x.key;替换x.value的值
x.value = val;
}
return x;
}
/**
* 根据key,从树中找出对应的值
* @param key 键
*/
public Value getNode(Key key){
return getNode(root,key);
}
/**
* 从指定的树x中,找出key对应的值
* @param x 节点
* @param key 键
* @return 节点
*/
public Value getNode(Node<Key,Value> x, Key key){
if (null == x){
return null;
}
int compare = key.compareTo(x.key);
if(0 < compare){
return getNode(x.right,key);
}else if(0 > compare){
return getNode(x.left, key);
}else {
return x.value;
}
}
public void delete(Key key){
root = delete(root, key);
}
/**
* 删除指定树x中的key对应的value,并返回删除后的新树
* @param x
* @param key
* @return
*/
public Node<Key,Value> delete(Node<Key, Value> x, Key key){
if (null == x){
return null;
}
int compare = key.compareTo(x.key);
if(0 < compare){
x.right = delete(x.right,key);
}else if(0 > compare){
x.left = delete(x.left,key);
}else {
//个数-1
size--;
//新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点
if(x.right == null){
return x.left;
}if(x.left == null){
return x.right;
}
//左右子结点都存在的情况下,找右子树最小的节点
Node<Key, Value> minRight = x.right;
while (null != minRight.left){
minRight = minRight.left;
}
Node<Key, Value> node = x.right;
while (node.left != null) {
if (node.left.left == null) {
node.left = null;
} else {
node = node.left;
}
}
//让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树,让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
minRight.left = x.left;
minRight.right = x.right;
//让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
x = minRight;
}
return x;
}
public int size(){
return size;
}
/**
* 节点类
* @param <Key>
* @param <Value>
*/
private class Node<Key,Value>{
public Key key;
public Value value;
public Node<Key,Value> left;
public Node<Key, Value> right;
public Node(Key key, Value value, Node left, Node<Key, Value> right) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
}
测试代码
public class BinaryTreeTest {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree<Integer, String> binaryTree = new BinaryTree<>();
binaryTree.put(1,"yhx");
binaryTree.put(2,"love");
binaryTree.put(3,"lwh");
System.out.println(binaryTree.size());
binaryTree.delete(2);
String node = binaryTree.getNode(2);
System.out.println(node);
System.out.println(binaryTree.size());
}
}
3、查找二叉树中最大/最小的键
1、最小的键
方法 | 描述 |
public Key min() | 找出树中最小的键 |
private Node min(Node x) | 找出指定树x中,最小键所在的结点 |
/**
* 查找树中最小的键
* @return
*/
public Key minKey(){
return minKey(root).key;
}
/**
* 根据二叉树的特点,左子树 < 右子树 so最小的键肯定是位于左边
* @param x
* @return
*/
public Node<Key,Value> minKey(Node<Key,Value> x){
if (x.left != null){
return minKey(x.left);
}else {
return x;
}
}
2、最大的键
方法 | 描述 |
public Key max() | 找出树中最大的键 |
public Node max(Node x) | 找出指定树x中,最大键所在的结点 |
/**
* 查询树中最大的键
* @return
*/
public Key maxKey(){
return maxKey(root).key;
}
/**
* 根据二叉树的特点,右子树 > 左子树 so最大的键肯定是位于右边
* @param x
* @return
*/
public Node<Key,Value> maxKey(Node<Key,Value> x){
if(x.right != null){
return maxKey(x.right);
}else {
return x;
}
}
3、二叉树的遍历
我们把树简单的画作上图中的样子,由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成,那么按照根节点什么时候被访
问,我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式:
- 前序遍历
先访问根结点,然后再访问左子树,最后访问右子树
- 中序遍历
先访问左子树,中间访问根节点,最后访问右子树
- 后序遍历
先访问左子树,再访问右子树,最后访问根节点
1、前序遍历
前序遍历的API
方法 | 描述 |
public Queue preErgodic() | 使用前序遍历,获取整个树中的所有键 |
private void preErgodic(Node x,Queue keys) | 使用前序遍历,把指定树x中的所有键放入到keys队列中 |
/**
* 前序遍历
* @return
*/
public Queue<Key> preErgodic(){
Queue<Key> queue = new Queue<>();
preErgodic(root,queue);
return queue;
}
/**
* 前序遍历操作 先访问根结点,然后再访问左子树,最后访问右子树
* @param x 根节点
* @param queue 队列
*/
private void preErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){
if (x == null) {
return;
}
//把当前结点的key放入到队列中
queue.enqueue(x.key);
//访问左子树
if(x.left != null){
preErgodic(x.left,queue);
}
//访问右子树
if(x.right != null){
preErgodic(x.right,queue);
}
}
2、中序遍历
中序遍历的API
方法 | 描述 |
public Queue midErgodic() | 使用中序遍历,获取整个树中的所有键 |
private void midErgodic(Node x,Queue keys) | 使用中序遍历,把指定树x中的所有键放入到keys队列中 |
/**
* 中序遍历
* @return
*/
public Queue<Key> midErgodic(){
Queue<Key> queue = new Queue<>();
midErgodic(root,queue);
return queue;
}
/**
* 先访问左子树,中间访问根节点,最后访问右子树
* @param x
* @param queue
*/
private void midErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){
if (x == null) {
return;
}
//访问左子树
if(x.left != null){
preErgodic(x.left,queue);
}
//把当前结点的key放入到队列中
queue.enqueue(x.key);
//访问右子树
if(x.right != null){
preErgodic(x.right,queue);
}
}
3、后序遍历
后序遍历的API
方法 | 描述 |
public Queue afterErgodic() | 使用后序遍历,获取整个树中的所有键 |
private void afterErgodic(Node x,Queue keys) | 使用后序遍历,把指定树x中的所有键放入到keys队列中 |
/**
* 后序遍历
* @return
*/
public Queue<Key> afterErgodic(){
Queue<Key> queue = new Queue<>();
afterErgodic(root,queue);
return queue;
}
/**
* 先访问左子树,再访问右子树,最后访问根节点
* @param x
* @param queue
*/
private void afterErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){
if (x == null) {
return;
}
//访问左子树
if(x.left != null){
preErgodic(x.left,queue);
}
//访问右子树
if(x.right != null){
preErgodic(x.right,queue);
}
//把当前结点的key放入到队列中
queue.enqueue(x.key);
}
4、测试
public class BinaryTreeErgodicTest {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();
bt.put("E", "5");
bt.put("B", "2");
bt.put("G", "7");
bt.put("A", "1");
bt.put("D", "4");
bt.put("F", "6");
bt.put("H", "8");
bt.put("C", "3");
//前序遍历
Queue<String> preErgodic = bt.preErgodic();
//中序遍历
Queue<String> midErgodic = bt.midErgodic();
//后序遍历
Queue<String> afterErgodic = bt.afterErgodic();
for (String key : preErgodic) {
System.out.println(key+"=" +bt.getNode(key));
}
}
}
4、层次遍历
所谓的层序遍历,就是从根节点(第一层)开始,依次向下,获取每一层所有结点的值
层次遍历的结果是:EBGADFHC
方法 | 描述 |
public Queue layerErgodic(): | 使用层序遍历,获取整个树中的所有键实 |
实现步骤:
- 创建队列,存储每一层的结点;
- 使用循环从队列中弹出一个结点:
- 获取当前结点的key
- 如果当前结点的左子结点不为空,则把左子结点放入到队列中
- 如果当前结点的右子结点不为空,则把右子结点放入到队列中
/**
* 层次遍历
* @return
*/
public Queue<Key> layerErgodic(){
//存储key
Queue<Key> keys = new Queue<>();
//存储node
Queue<Node<Key,Value>> nodes = new Queue<>();
//入队头结点
nodes.enqueue(root);
while(!nodes.isEmpty()){
//出队当前节点
Node<Key,Value> dequeue = nodes.dequeue();
//当前节点头入队
keys.enqueue(dequeue.key);
if(dequeue.left != null){
nodes.enqueue(dequeue.left);
}
if(dequeue.right != null){
nodes.enqueue(dequeue.right);
}
}
return keys;
}
5、二叉树的最大深度
最大深度(树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数)
上面这颗树的最大深度为:E–>B–>D–>C,深度为4
方法 | 描述 |
public int maxDepth() | 计算整棵树的最大深度 |
private int maxDepth(Node x) | 计算指定树x的最大深度 |
实现步骤:
- 如果根结点为空,则最大深度为0;
- 计算左子树的最大深度;
- 计算右子树的最大深度;
- 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
/**
* 计算整棵树的最大深度
* @return
*/
public int maxDepth(){
return maxDepth(root);
}
/**
* 计算指定节点的最大深度
* @param x
* @return
*/
private int maxDepth(Node<Key,Value> x){
if (x == null) {
return 0;
}
int maxRight = 0;
int maxLeft = 0;
int maxDepth;
if(x.left != null){
maxLeft = maxDepth(x.left);
}
if (x.right != null) {
maxRight = maxDepth(x.right);
}
maxDepth = maxLeft > maxRight ? maxLeft + 1 : maxRight + 1;
return maxDepth;
}
6、折纸问题
请把一段纸条竖着放在桌子上,然后从纸条的下边向上方对折1次,压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的,即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次,压出折痕后展开,此时有三条折痕,从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。
给定一 个输入参数N,代表纸条都从下边向上方连续对折N次,请从上到下打印所有折痕的方向 例如:N=1时,打印: down;N=2时,打印: down down up
分析
我们把对折后的纸张翻过来,让粉色朝下,这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点,那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点,而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点,这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。
这棵树有这样的特点:
- 根结点为下折痕;
- 每一个结点的左子结点为下折痕;
- 每一个结点的右子结点为上折痕;
实现步骤:
- 构建节点类
- 构建深度为n的折痕树
- 使用中序遍历,打印树中所有节点的内容
构建深度为N的折痕树:
- 第一次对折,只有一条折痕,创建根节点
- 如果不是第一次对折,则使用队列保存根节点
- 循环遍历队列
- 从队列中拿出一个节点
- 如果当前节点的左节点不为空,则把这个左节点加入队列中
- 如果当前节点的右节点不为空,则把这个右节点加入队列中
- 判断当前结点的左子结点和右子结点都为空,如果是,则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点,一个值为up的右子结点。
public class PaperFolding {
/**
* 创建折痕树
* @param size 深度
*/
public static Node createTree(int size){
Node root = null;
for (int i = 0; i < size; i++) {
//第一次对折,只有一条折痕,创建根节点
if (0 == i){
root = new Node("down",null,null);
}else {
//如果不是第一次对折,则使用队列保存根节点
Queue<Node> nodes = new Queue<>();
nodes.enqueue(root);
//循环遍历
while(!nodes.isEmpty()){
//从队列中拿出一个节点
Node dequeue = nodes.dequeue();
//如果当前节点的左节点不为空,则把这个左节点加入队列中
if(dequeue.left != null){
nodes.enqueue(dequeue.left);
}
//如果当前节点的右节点不为空,则把这个右节点加入队列中
if(dequeue.right != null){
nodes.enqueue(dequeue.right);
}
//判断当前结点的左子结点和右子结点都为空,则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点,一个值为up的右子结点。
if(dequeue.left == null && dequeue.right == null){
dequeue.left = new Node("down",null,null);
dequeue.right = new Node("up",null,null);
}
}
}
}
return root;
}
/**
* 采用中序遍历
* @param root
*/
public static void printTree(Node root){
if (root == null) {
return;
}
printTree(root.left);
System.out.print(root.item+" ");
printTree(root.right);
}
/**
* 节点类
*/
private static class Node{
String item;
Node left;
Node right;
public Node(String item, Node left, Node right) {
this.item = item;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
public static void main(String[] args) {
Node tree = createTree(2);
printTree(tree);
}
}
down down up
标签:Node,结点,遍历,Java,二叉树,key,return,null,left From: https://blog.51cto.com/xiaobear/11899816