TOP K
问题描述：
从arr[1, n]这n个数中，找出最大的k个数，这就是经典的TopK问题。
栗子：
从arr[1, 12]={5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 这n=12个数中，找出最大的k=5个。
整体排序
排序是最容易想到的方法，将n个数排序之后，取出最大的k个，即为所得。
伪代码：
sort(arr, 1, n);
return arr[1, k];
时间复杂度：O(n*lg(n))
分析：明明只需要TopK，却将全局都排序了，这也是这个方法复杂度非常高的原因。那能不能不全局排序，而只局部排序呢？这就引出了第二个优化方法。
局部排序
不再全局排序，只对最大的k个排序。
冒泡是一个很常见的排序方法，每冒一个泡，找出最大值，冒k个泡，就得到TopK。
伪代码：
for(i=1 to k){
bubble_find_max(arr,i);
}
return arr[1, k];
时间复杂度：O(n*k)
分析：冒泡，将全局排序优化为了局部排序，非TopK的元素是不需要排序的，节省了计算资源。不少朋友会想到，需求是TopK，是不是这最大的k个元素也不需要排序呢？这就引出了第三个优化方法。
堆
思路：只找到TopK，不排序TopK。
先用前k个元素生成一个小顶堆，这个小顶堆用于存储，当前最大的k个元素。
接着，从第k+1个元素开始扫描，和堆顶（堆中最小的元素）比较，如果被扫描的元素大于堆顶，则替换堆顶的元素，并调整堆，以保证堆内的k个元素，总是当前最大的k个元素。
直到，扫描完所有n-k个元素，最终堆中的k个元素，就是求的TopK。
import heapq
nums = [1, 4, 7, 8, 5, 2, 3, 6, 9]
k = 3
heap = nums[:k]
heapq.heapify(heap)
for i in nums[k:]:
if i > heap[0]:
heapq.heappop(heap)
heapq.heappush(heap, i)
print(heap)
时间复杂度：O(n*lg(k))
画外音：n个元素扫一遍，假设运气很差，每次都入堆调整，调整时间复杂度为堆的高度，即lg(k)，故整体时间复杂度是n*lg(k)。
分析：堆，将冒泡的TopK排序优化为了TopK不排序，节省了计算资源。堆，是求TopK的经典算法，那还有没有更快的方案呢？
随机选择
随机选择算在是《算法导论》中一个经典的算法，其时间复杂度为O(n)，是一个线性复杂度的方法。
这个方法并不是所有同学都知道，为了将算法讲透，先聊一些前序知识，一个所有程序员都应该烂熟于胸的经典算法：快速排序。
其伪代码是：
void quick_sort(int[]arr, int low, int high){
if(low==high) return;
int i = partition(arr, low, high);
quick_sort(arr, low, i-1);
quick_sort(arr, i+1, high);
}
其核心算法思想是，分治法。
分治法（Divide&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题（Divide），每个子问题“都”解决，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“都”。从伪代码里可以看到，快速排序递归时，先通过partition把数组分隔为两个部分，两个部分“都”要再次递归。
分治法有一个特例，叫减治法。
减治法（Reduce&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题（Reduce），这些子问题中“只”解决一个，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“只”。
二分查找binary_search，BS，是一个典型的运用减治法思想的算法，其伪代码是：
int BS(int[]arr, int low, inthigh, int target){
if(low> high) return -1;
mid= (low+high)/2;
if(arr[mid]== target) return mid;
if(arr[mid]> target)
return BS(arr, low, mid-1, target);
else
return BS(arr, mid+1, high, target);
}
从伪代码可以看到，二分查找，一个大的问题，可以用一个mid元素，分成左半区，右半区两个子问题。而左右两个子问题，只需要解决其中一个，递归一次，就能够解决二分查找全局的问题。
通过分治法与减治法的描述，可以发现，分治法的复杂度一般来说是大于减治法的：
快速排序：O(n*lg(n))
二分查找：O(lg(n))
话题收回来，快速排序的核心是：
i = partition(arr, low, high);
这个partition是干嘛的呢？
顾名思义，partition会把整体分为两个部分。
更具体的，会用数组arr中的一个元素（默认是第一个元素t=arr[low]）为划分依据，将数据arr[low, high]划分成左右两个子数组：
左半部分，都比t大
右半部分，都比t小
中间位置i是划分元素
以上述TopK的数组为例，先用第一个元素t=arr[low]为划分依据，扫描一遍数组，把数组分成了两个半区：
左半区比t大
右半区比t小
中间是t
partition返回的是t最终的位置i。
很容易知道，partition的时间复杂度是O(n)。
画外音：把整个数组扫一遍，比t大的放左边，比t小的放右边，最后t放在中间N[i]。
partition和TopK问题有什么关系呢？
TopK是希望求出arr[1,n]中最大的k个数，那如果找到了第k大的数，做一次partition，不就一次性找到最大的k个数了么？
画外音：即partition后左半区的k个数。
问题变成了arr[1, n]中找到第k大的数。
再回过头来看看第一次partition，划分之后：
i = partition(arr, 1, n);
如果i大于k，则说明arr[i]左边的元素都大于k，于是只递归arr[1, i-1]里第k大的元素即可；
如果i小于k，则说明说明第k大的元素在arr[i]的右边，于是只递归arr[i+1, n]里第k-i大的元素即可；
这就是随机选择算法randomized_select，RS，其伪代码如下：
int RS(arr, low, high, k){
if(low== high) return arr[low];
i= partition(arr, low, high);
temp= i-low; //数组前半部分元素个数
if(temp>=k)
return RS(arr, low, i-1, k); //求前半部分第k大
else
return RS(arr, i+1, high, k-i); //求后半部分第k-i大
}
现在来看TOPK例题
Leetcode 面试题 17.14. 最小K个数
设计一个算法，找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。
给出python实现
class Solution:
def smallestK(self, arr: List[int], k: int) -> List[int]:
def top(arr,k):
left,mid,right = partition(arr)
left_length = len(left)
mid_length = len(mid)
if left_length >= k:
return top(left,k)
elif k>left_length and k<= left_length+mid_length:
return left + mid[:k-left_length]
elif k>left_length + mid_length:
return left+mid+top(right,k-left_length-mid_length)
def partition(arr):
if not arr:
return [],[],[]
select = random.choice(arr)
left,mid,right = [],[],[]
for value in arr:
if value < select:
left.append(value)
elif value == select:
mid.append(value)
elif value > select:
right.append(value)
return left,mid,right
if k == 0:
return []
return top(arr,k)
现在来看第K个数
Leetcode LCR 076. 数组中的第 K 个最大元素
给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。
请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。
class Solution:
def findKthLargest(self, nums: List[int], k: int) -> int:
def topK(nums, k):
left, mid, right = partition(nums)
left_length = len(left)
mid_length = len(mid)
right_length = len(right)
if right_length >= k:
return topK(right, k)
elif k > right_length and k <= right_length + mid_length:
return mid[0]
elif k > right_length + mid_length:
return topK(left, k - right_length - mid_length)
def partition(arr):
if not arr:
return [], [], []
select = random.choice(arr)
left,mid,right = [],[],[]
for n in arr:
if n < select:
left.append(n)
elif n == select:
mid.append(n)
elif n > select:
right.append(n)
return left, mid, right
return topK(nums,k)
class Solution:
def findKthLargest(self, nums: List[int], k: int) -> int:
def partition(nums):
pivot =random.choice(nums)
less = []
equals = []
bigger = []
for i in nums:
if i < pivot:
less.append(i)
if i == pivot:
equals.append(i)
if i>pivot:
bigger.append(i)
return less,equals,bigger
def find(nums,k):
less,equal,bigger = partition(nums)
less_len = len(less)
equal_len = len(equal)
bigger_len = len(bigger)
if bigger_len >= k:
return find(bigger,k)
if (bigger_len+equal_len) >= k and bigger_len < k:
return equal[0]
if (bigger_len+equal_len) < k:
return find(less,k-bigger_len-equal_len)
return find(nums,k)
再次强调一下：
分治法，大问题分解为小问题，小问题都要递归各个分支，例如：快速排序
减治法，大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择
通过随机选择（randomized_select），找到arr[1, n]中第k大的数，再进行一次partition，就能得到TopK的结果。
总结
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TopK，不难；其思路优化过程，不简单
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全局排序，O(n*lg(n))
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局部排序，只排序TopK个数，O(n*k)
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堆，TopK个数也不排序了，O(n*lg(k))
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分治法，每个分支“都要”递归，例如：快速排序，O(n*lg(n))
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减治法，“只要”递归一个分支，例如：二分查找O(lg(n))，随机选择O(n)
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TopK的另一个解法：随机选择+partition