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300.最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
- 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
- 输出：4
- 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
- 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
- 输出：4
示例 3：
- 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
- 输出：1
提示：
- 1 <= nums.length <= 2500
- -10^4 <= nums[i] <= 104
思路
本题也是代码随想录中子序列问题的第一题，如果没接触过这种题目的话，本题还是很难的，甚至想暴力去搜索也不知道怎么搜。 子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下标j的子序列长度有关系，那又是什么样的关系呢。
接下来，我们依然用动规五部曲来详细分析一波：
1.dp[i]的定义
本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。
2.状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if nums[i] > nums[j]: dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
3.dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
4.确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：
for i in range(1, len(nums)):
for j in range(0, i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
result = max(result, dp[i]) #取长的子序列5.举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
方法一： 动态规划
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if len(nums) <= 1:
return len(nums)
dp = [1] * len(nums)
result = 1
for i in range(1, len(nums)):
for j in range(0, i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
result = max(result, dp[i]) #取长的子序列
return result方法二：贪心
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if len(nums) <= 1:
return len(nums)
tails = [nums[0]] # 存储递增子序列的尾部元素
for num in nums[1:]:
if num > tails[-1]:
tails.append(num) # 如果当前元素大于递增子序列的最后一个元素，直接加入到子序列末尾
else:
# 使用二分查找找到当前元素在递增子序列中的位置，并替换对应位置的元素
left, right = 0, len(tails) - 1
while left < right:
mid = (left + right) // 2
if tails[mid] < num:
left = mid + 1
else:
right = mid
tails[left] = num
return len(tails) # 返回递增子序列的长度心得收获
本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
674. 最长连续递增序列
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
示例 1：
- 输入：nums = [1,3,5,4,7]
- 输出：3
- 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。
示例 2：
- 输入：nums = [2,2,2,2,2]
- 输出：1
- 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
提示：
- 0 <= nums.length <= 10^4
- -10^9 <= nums[i] <= 10^9
思路
本题相对于昨天的动态规划：300.最长递增子序列 最大的区别在于“连续”。
本题要求的是最长连续递增序列
动态规划
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。
注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。
2.确定递推公式
如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;
注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列 的区别！
因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。
这里大家要好好体会一下！
3.dp数组如何初始化
以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1;
4.确定遍历顺序
从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。
本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}
}
5.举例推导dp数组
已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：
注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！
方法一：动态规划
class Solution:
def findLengthOfLCIS(self, nums: List[int]) -> int:
if len(nums) == 0:
return 0
result = 1
dp = [1] * len(nums)
for i in range(len(nums)-1):
if nums[i+1] > nums[i]: #连续记录
dp[i+1] = dp[i] + 1
result = max(result, dp[i+1])
return result方法二：动态规划-优化
class Solution:
def findLengthOfLCIS(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums:
return 0
max_length = 1
current_length = 1
for i in range(1, len(nums)):
if nums[i] > nums[i - 1]:
current_length += 1
max_length = max(max_length, current_length)
else:
current_length = 1
return max_length
方法三：贪心
class Solution:
def findLengthOfLCIS(self, nums: List[int]) -> int:
if len(nums) == 0:
return 0
result = 1 #连续子序列最少也是1
count = 1
for i in range(len(nums)-1):
if nums[i+1] > nums[i]: #连续记录
count += 1
else: #不连续，count从头开始
count = 1
result = max(result, count)
return result心得收获
本题也是动规里子序列问题的经典题目，但也可以用贪心来做，大家也会发现贪心好像更简单一点，而且空间复杂度仅是O(1)。
在动规分析中，关键是要理解和动态规划：300.最长递增子序列 的区别。
要联动起来，才能理解递增子序列怎么求，递增连续子序列又要怎么求。
概括来说：不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关，连续递增的子序列只跟前一个状态有关
718. 最长重复子数组
给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。
示例：
输入：
- A: [1,2,3,2,1]
- B: [3,2,1,4,7]
- 输出：3
- 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。
提示：
- 1 <= len(A), len(B) <= 1000
- 0 <= A[i], B[i] < 100
思路
注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。
要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法 只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。
本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。
其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。
那有同学问了，我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？
行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。
2.确定递推公式
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！
3.dp数组如何初始化
根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。
4.确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？
也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。
同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
代码如下：
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
5.举例推导dp数组
拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
方法一：动态规划-二维
class Solution:
def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
# 创建一个二维数组 dp，用于存储最长公共子数组的长度
dp = [[0] * (len(nums2) + 1) for _ in range(len(nums1) + 1)]
# 记录最长公共子数组的长度
result = 0
# 遍历数组 nums1
for i in range(1, len(nums1) + 1):
# 遍历数组 nums2
for j in range(1, len(nums2) + 1):
# 如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等
if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
# 在当前位置上的最长公共子数组长度为前一个位置上的长度加一
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
# 更新最长公共子数组的长度
if dp[i][j] > result:
result = dp[i][j]
# 返回最长公共子数组的长度
return result方法二：动态规划-一维
class Solution:
def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
# 创建一个一维数组 dp，用于存储最长公共子数组的长度
dp = [0] * (len(nums2) + 1)
# 记录最长公共子数组的长度
result = 0
# 遍历数组 nums1
for i in range(1, len(nums1) + 1):
# 用于保存上一个位置的值
prev = 0
# 遍历数组 nums2
for j in range(1, len(nums2) + 1):
# 保存当前位置的值，因为会在后面被更新
current = dp[j]
# 如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等
if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
# 在当前位置上的最长公共子数组长度为上一个位置的长度加一
dp[j] = prev + 1
# 更新最长公共子数组的长度
if dp[j] > result:
result = dp[j]
else:
# 如果不相等，将当前位置的值置为零
dp[j] = 0
# 更新 prev 变量为当前位置的值，供下一次迭代使用
prev = current
# 返回最长公共子数组的长度
return result方法三：动态规划-二维从ij开始
class Solution:
def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
# 创建一个二维数组 dp，用于存储最长公共子数组的长度
dp = [[0] * (len(nums2) + 1) for _ in range(len(nums1) + 1)]
# 记录最长公共子数组的长度
result = 0
# 对第一行和第一列进行初始化
for i in range(len(nums1)):
if nums1[i] == nums2[0]:
dp[i + 1][1] = 1
for j in range(len(nums2)):
if nums1[0] == nums2[j]:
dp[1][j + 1] = 1
# 填充dp数组
for i in range(1, len(nums1) + 1):
for j in range(1, len(nums2) + 1):
if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
# 如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等，则当前位置的最长公共子数组长度为左上角位置的值加一
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
if dp[i][j] > result:
# 更新最长公共子数组的长度
result = dp[i][j]
# 返回最长公共子数组的长度
return result
心得收获
前面讲了 dp数组为什么定义：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？
当然可以，就是实现起来麻烦一些。
如果定义 dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，那么 第一行和第一列毕竟要进行初始化，如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1， 因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话，同理。
所以代码如下：
class Solution:
def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
# 创建一个二维数组 dp，用于存储最长公共子数组的长度
dp = [[0] * (len(nums2) + 1) for _ in range(len(nums1) + 1)]
# 记录最长公共子数组的长度
result = 0
# 对第一行和第一列进行初始化
for i in range(len(nums1)):
if nums1[i] == nums2[0]:
dp[i + 1][1] = 1
for j in range(len(nums2)):
if nums1[0] == nums2[j]:
dp[1][j + 1] = 1
# 填充dp数组
for i in range(1, len(nums1) + 1):
for j in range(1, len(nums2) + 1):
if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
# 如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等，则当前位置的最长公共子数组长度为左上角位置的值加一
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
if dp[i][j] > result:
# 更新最长公共子数组的长度
result = dp[i][j]
# 返回最长公共子数组的长度
return result
大家会发现 这种写法 一定要多写一段初始化的过程。
而且为了让 if dp[i][j] > result: result = dp[i][j] 收集到全部结果，两层for训练一定从0开始遍历，这样需要加上 && i > 0 && j > 0的判断。