时间复杂度的计算

时间复杂度简单计算（一层、两层、多层循环）

相当于轨迹追踪法：设执行次数为k，按照循环条件

阿布算法课

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01 区别算法(Algorithm)和程序(Program)

02 事前分析和事后测试

03 算法的性质

• 一个或多个输入

• 至少有一个输出

• 可定义性

• 有限性

• 高效性

04 算法的表示和分析

怎么表示一个算法：需要看得懂，没有固定形式（伪代码）

如何分析一个算法？

• Time：时间消耗

• Space：内存消耗

• N/W：数据传输和网络消耗

• Power：能耗

• CPU Registers：占用CPU多少寄存器(底层驱动、操作系统)

时间复杂度分析

时间复杂度函数 f(n) = 3

• 算法时间复杂度分析，不需要考虑每个陈述语句形式。

• 算法时间复杂度看的是常数操作总次数

05 频数分析法求时间间复杂度

一层循环

两层循环

多层循环

06 轨迹追踪法求时间复杂度

设执行次数为k，按照循环条件，得出执行次数k与问题规模n的关系，从而得时间复杂度

07 时间复杂度分析示例

logn为小数，执行次数要向上取整

常见for循环时间复杂度总结：

08 while循环、if条件的时间复杂度分析

由于while循环可以和for循环相互转换，while循环实际上和for循环分析方法一样

if 语句分析时间复杂度可能有最坏、最好情况

09 时间复杂度的分类

10 函数复杂度的比较和分析

增长速度：常<对<幂<指数

11函数的渐近符号

上界有很多，尽量使用最接近的那个上界表示f(n)

当下界有很多时，尽量使用最接近的那个下界表示f(n)

平均界只有一种表示方式表示f(n)

最好、最坏、平均情况的时间复杂度

• 算法的时间复杂度，会随着排序集合的有序性而改变。我们需要分析不同算法在不同数据下的表现

  • 最好时间复杂度：在完全有序的情况下的时间复杂度

  • 最坏时间复杂度：在最坏情况下的时间复杂度

  • 平均复杂度：平均情况下的时间复杂度

注意：并不是最坏时间复杂度就用O(n)，最好情况就是\Omega(n)，平均情况就是\theta(n)，O()，\Omega()，\theta()只是表示函数渐近的符号，都可以使用任何情况的时间复杂度衡量上。

最好、最坏、平均情况时间复杂度分析

线性搜索

二叉搜索树（二叉排序树）（二分搜索）

12深入学习函数渐近符号

阶乘形式的f(n)没有精确的平均界表示，只能通过上、下界表示

logn! = O(nlogn) = Ω(1)

13 渐近符号的性质

14 函数的比较

15 递归算法的时间复杂度

• 整个递归算法的时间复杂度函数用 T(n)表示

• 如何求得递归算法得时间复杂度函数T(n)：

  • 递归追踪树，求得T(n)表达式

  • 由T(n)的递推关系，推导出T(n)

  • 根据master公式得出T(n)的渐近表示

例1

例2

追踪递归树求T(n)

递归推导求T(n)

常见T(n)递归关系对应的时间复杂度

16 master公式

减法的master公式

Masters Theorem Decreasing Function

除法的master公式

Masters Theorem in Algorithms for Dividing Function

左神求递归复杂度:（以上的p=0的情况）

N^d*logN 即 N^dlogN

其中:

• T(N) 是问题规模为 N 时递归算法的时间复杂度

• a(a>0)是子问题数量，子问题的规模相同，每一个子问题约耗时 T(N/b)

• b 是问题规模缩减的程度,通常 b > 1

• O(n^d) 是非递归部分的时间复杂度,通常较低阶