概述
回溯，对接触了算法的人而言，并不陌生，其实严谨地说回溯函数就是递归函数，只不过在使用上，人们将它的一些细节抽离出来，进而演化出了所谓的回溯，在算法导论中，与其相关的被称为“回溯搜索算法”。
回溯本质是递归的副产物，只要有递归调用就会有回溯。
回溯法也经常和二叉树或N叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式的简单实现都是用了递归(当然可以使用数据结构的栈模拟递归，来设计搜索遍历算法)。
接下来的杂谈中，大家也可以隐隐约约感觉，回溯就是在暴力搜索，只是它的优势在于，你可以在有限的函数操作里实现庞大搜索空间的操作，而不用设计冗余或重复的代码结构。
回溯和递归有个不同点就是回溯，它有一个显性逆回的步骤 (撤销本次处理的结果)
设计回溯函数的核心：1. 处理局部结果 2. 递归 3. 回溯 (撤回处理结果)
有几个要领 1. 在递归函数中对关键形参变量的调整
2. 回溯对于待处理对象，大部分使用引用传参
N叉树情景
N叉树一般可以由很多问题抽象而来，比如，给定⼀个⽆重复元素的数组 candidates 和⼀个⽬标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
这里我介绍网上一个算法大咖的回溯模板， 利用循环进行递归调用很好地解决这类问题
回溯⼀般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度
for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历
根据不同的需求，可以纵横地扫描全局各结果的可能性
void backtracking(参数) {
if (终⽌条件) {
存放结果;
return;
}
//index用以控制横向的搜索空间
for (index = 0; index < 总集合宽度 ; index++) {
1. 处理节点; (处理外部需要收集结果的容器)
2. backtracking(路径，index+1); // 递归
3. 回溯
}
}在上面所提及的问题中，可以给出下面的解法
class Solution {
private:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
void backingtrack(vector<int>& candidates, int sum, int target, int startindex){
if(sum == target ){
result.push_back(path);
return;
}
if(target < sum)
return;
//定义startindex 可以根据 i 来 界定 回溯去重作用
for(int i = startindex; i < candidates.size(); ++i){
sum += candidates[i]; //处理
path.push_back(candidates[i]); //处理
backingtrack(candidates, sum, target, i); //i != i+1 表示可以重复读取当前的数
path.pop_back(); //回溯
sum -= candidates[i]; //回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
path.clear();
result.clear();
backingtrack(candidates, 0, target, 0);
return result;
}
};二叉树情景
在LeetCode上 有这样一个问题，数字为0~9之间
求根节点到叶节点数字之和，如下为两个示例及一种回溯的解法
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* TreeNode *left;
* TreeNode *right;
* TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
* TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
* TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
* };
*/
class Solution {
private:
int countSum(vector<int>& ve){
int len = ve.size();
int res = 0;
for(int i = 0; i <len; i++){
res += ve[i];
if(i == len -1)
break;
res *= 10;
}
//cout << res << endl;
return res;
}
void Proback(TreeNode* root, vector<int>& ve, int &sum){
if(root == nullptr)
return; //终止条件
ve.push_back(root->val); //处理结果
if(root->left == nullptr && root->right == nullptr){
sum += countSum(ve); //处理结果 (可以提前终止 直接return)
//return ;
}
if(root->left){
Proback(root->left, ve, sum); //递归
ve.pop_back(); //回溯
}
if(root->right){
Proback(root->right, ve, sum); //递归
ve.pop_back(); //回溯
}
return;
}
public:
int sumNumbers(TreeNode* root) {
vector<int> v;
int sum = 0;
Proback(root, v, sum);
return sum;
}
};当然也可以使用二维数组 收集路径的总集，一维数组收集路径
class Solution {
private:
vector<vector<int>> ve;
vector<int> path;
void preorder(TreeNode* root){
if(root == nullptr)
return;
path.push_back(root->val); //处理
if(root->left == nullptr && root->right == nullptr)
ve.push_back(path); //处理
if(root->left){
preorder(root->left);
path.pop_back(); //回溯
}
if(root->right){
preorder(root->right);
path.pop_back(); //回溯
}
}
public:
int sumNumbers(TreeNode* root) {
preorder(root);
int res = 0;
for(int i=0; i < ve.size(); i++){
int len = ve[i].size(); //path数组的长度
int sum = 0;
//计数
for(int j = 0; j < len; j++){
int tmp = ve[i][j] * pow(10, len-j-1);
sum += tmp;
}
res += sum;
}
return res;
}
};回溯的使用也存在一些技巧和花样，比如下面两种实现方式，本质都是一样的，一个是通过主动调用而进行回溯操作(显式)，一个是通过调整形参进而进行自动回溯(隐式)。
显式回溯
递归函数里主动地回溯
class Solution {
private:
string s;
vector<string> res;
unordered_map<int, string> index2string = {
{0, ""}, {1, ""}, {2, "abc"}, {3, "def"}, {4, "ghi"}, {5, "jkl"}, {6, "mno"},
{7, "pqrs"}, {8, "tuv"}, {9, "wxyz"}
};
void backtracking(string digits, int index){
if(index == digits.size()){
res.push_back(s);
return;
}
int digit = (int)(digits[index] - '0'); // - '0' ASCII 差值 获得数值
string letters = index2string[digit];
for(int i = 0; i < letters.size(); ++i){
s.push_back(letters[i]); //处理
backtracking(digits, index+1); //递归
s.pop_back(); //回溯
}
}
public:
vector<string> letterCombinations(string digits) {
res.clear();
s.clear();
if(digits.size() == 0)
return res;
backtracking(digits, 0);
return res;
}
};隐式回溯
递归函数里被动地回溯
把回溯隐藏在递归参数里，把参数写进递归函数 == 自动回溯。下面举个抽象的例子
(开过车的都知道，手动挡的车，比起自动挡而言，在切换变速杆时，多了离合器的控制，而这些其实在自动挡车，有汽车控制器帮你完成了)
class Solution {
private:
string s;
vector<string> res;
unordered_map<int, string> index2string = {
{0, ""}, {1, ""}, {2, "abc"}, {3, "def"}, {4, "ghi"}, {5, "jkl"}, {6, "mno"},
{7, "pqrs"}, {8, "tuv"}, {9, "wxyz"}
};
void backtracking(string digits, int index, const string& s){
if(index == digits.size()){
res.push_back(s);
return;
}
int digit = (int)(digits[index] - '0'); // - '0' ASCII 差值 获得数值
string letters = index2string[digit];
for(int i = 0; i < letters.size(); ++i){
backtracking(digits, index+1, s+letters[i]); //处理+递归+回溯
}
}
public:
vector<string> letterCombinations(string digits) {
res.clear();
s.clear();
if(digits.size() == 0)
return res;
backtracking(digits, 0, "");
return res;
}
};应用场景
这里以算法题中几个经典问题来谈谈其巧妙的应用，尽量以显式回溯来阐述。
排列组合问题
这里比较取巧地使用了交换的思想来处理排列，排列是有序的，使用N叉树思想，在循环中嵌套递归，并且每层都是从0开始搜索而不是startIndex。
class Solution {
private:
vector<vector<int>> res;
void backTrack(vector<vector<int>>& res, vector<int>& out, int cur, int len){
if(cur == len){
res.emplace_back(out);
return;
}
for(int i = cur; i < out.size(); ++i){
swap(out[cur], out[i]); //处理
backTrack(res, out, cur+1, len); //递归
swap(out[cur], out[i]); //回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
backTrack(res, nums, 0, nums.size()-1);
return res;
}
};不同于排列问题，组合是无序的，仍然是利用N叉树思想，用for循环嵌套递归来控制搜索的数量，遍历所有结果。
class Solution {
private:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
void Backtracking(int n, int k, int startindex){
if(path.size() == k){
result.push_back(path);
return; //终止条件
}
for(int i = startindex; i <= n; i++){ // 每次从startindex开始
path.push_back(i); //处理结果
Backtracking(n, k, i+1); //递归
path.pop_back(); //回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
/*第一层中 [1, n-k+1] 进入下一层；
右边界扩充 [startindex, n-k+1 + path.size()]
*/
path.clear();
result.clear();
Backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};切割子集问题
类似于排列组合问题，但是在处理结果上进行了一些调整，在处理中引入了逻辑判断条件，后续的数独问题也是引入了逻辑判断条件，但是更加复杂。
切割要点：1.模拟切割线 2.递归终止 3.在递归循环中截取子串 4.判断回文
class Solution {
private:
bool ispartition(const string& s, int start, int end){
for(int i = start, j = end; i < j; i++, j--){
if(s[i] != s[j])
return false;
}
return true;
}
vector<string> path;
vector<vector<string>> result;
/*
startindex 是搜索的起始位置
for 循环是重新一条N叉树的分支， 递归是深度搜索
*/
void backtracing(string& s, int startindex){
if(startindex >= s.size()){
result.push_back(path);
return; //终止条件
}
for(int i = startindex; i < s.size(); ++i){
if(ispartition(s, startindex, i)){ //处理
string str = s.substr(startindex, i-startindex+1);
path.push_back(str);
}else{
continue;
}
backtracing(s, i+1); //递归 ；index+1 表示不重复搜索
path.pop_back(); //回溯
}
}
public:
vector<vector<string>> partition(string s) {
path.clear();
result.clear();
backtracing(s, 0);
return result;
}
};子集的要点：
子集问题是在N叉树形结构中要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果；
就是边递归边存值的问题，for循环表示横向，每一层都递增一个可能的结果。
class Solution {
private:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
void backtracing(vector<int>& nums, int startindex){
if(startindex > nums.size())
return; //终止条件
for(int i = startindex; i < nums.size(); ++i){
path.push_back(nums[i]); //处理
result.push_back(path); //每次都要存结果，每一层的不同结果
backtracing(nums, i+1); //递归；index去重
path.pop_back(); //回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
result.clear();
path.clear();
backtracing(nums, 0);
result.push_back({}); //单独处理空集，题目有要求空集也算上
return result;
}
};棋盘数独问题
这类问题，就是叠加了多层循环嵌套的递归了，可能嵌套在判断条件，可能嵌套在搜索条件，不再像前面两种应用问题里的，单独一个循环可以考虑充分。可以想象为，每个节点都是一个棋盘或一局数独矩阵，而在前面两类问题上，每一个节点，仅仅只是一个数组。
棋盘，抽象成二维矩阵，矩阵中的长既是N叉树的树形结构中每一个节点的棋盘长度，又是N叉树的高度；矩阵中的宽就是N叉树的树形结构中每一个节点的棋盘宽度。
以N皇后为例，这是嵌套在判断条件里的。
棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的位置了，然后收集合理的结果。
class Solution {
private:
vector<vector<string>> result; //3 dim
vector<string> path;
bool isvalid(int row, int col, vector<string>& path, int n){
//col
for(int i = 0; i < row; ++i){
if(path[i][col] == 'Q') return false;
}
//45
for(int i = row-1, j =col -1; i >=0 && j >= 0; i--, j--){
if(path[i][j] == 'Q') return false;
}
//135
for(int i = row -1, j = col + 1; i>= 0 && j < n; i--, j++){
if(path[i][j] == 'Q') return false;
}
return true;
}
void backtracing(int n, int row){
if(row == n){
result.push_back(path);
return;
}
// 取数 ; for 循环的 下一次循环
for(int col = 0; col < n; col++){
if(isvalid(row, col, path, n)){ //嵌套判断条件
path[row][col] = 'Q'; //处理
backtracing(n, row+1); //递归
path[row][col] = '.'; //回溯
}
}
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
result.clear();
path = vector<string>(n , string(n, '.'));
backtracing(n, 0);
return result;
}
};数独，不同于N皇后，每一行每一列都只有一个有效位置的逻辑(局部有效进而全局有效)，在递归过程(N皇后问题是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来遍历列，把逻辑判断嵌套在判断条件里，然后一行一列确定皇后的唯一位置)，数独中棋盘的每一个位置都要放一个数字(多重局部有效进而全局有效)，并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更杂，更宽，更深，不再是简单的一行或列出现一个。
而且在棋盘的基础上，抽象了N叉树节点的棋盘大小就是9*9的，因此需要进一步拓展思维，用常量来设置嵌套在判断条件，并同时用常量设置嵌套在搜索条件，因为此刻棋盘固定，最终为三维递归
class Solution {
private:
bool isvalid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& result){
//row
for(int i =0; i < 9; ++i){
if(result[row][i] == val)
return false;
}
//col
for(int i = 0; i < 9; ++i){
if(result[i][col] == val)
return false;
}
//3*3
int startrow = (row / 3) * 3;
int startcol = (col / 3) * 3;
for(int i = startrow; i < startrow + 3; ++i){
for(int j = startcol; j < startcol + 3; ++j){
if(result[i][j] == val)
return false;
}
}
return true;
}
// 搜索单条路径
// 两层for循环刻画棋盘
bool backtracing(vector<vector<char>>& result){
for(int i = 0; i < result.size(); ++i){
for(int j = 0; j < result[0].size(); ++j){
if(result[i][j] == '.'){
// for as char
for(char k = '1'; k <= '9'; ++k){
if(isvalid(i, j, k, result)){ //嵌套判断条件
result[i][j] = k; //处理
if(backtracing(result)) return true; //递归
result[i][j] = '.'; //回溯
}
}
return false;
}
}
}
return true;
}
public:
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
backtracing(board);
}
};拓展应用
其实回溯的花样远不止本文所总结的这些，它可以和很多问题进行杂糅，并且在处理上有更灵活的做法，比如经典的迷宫游戏问题，本文杂谈就简单地归纳和个人理解的可能有误，如果大家发现问题还请指正下。
算法的种类和应用千千万，需要自行沉淀去悟出深意，感兴趣的读者可以去搜索了解哈。
完结撒花！！！！！！！！！
标签：return,递归函数,int,杂谈,vector,-----,result,回溯,path From： https://blog.csdn.net/weixin_56228133/article/details/140994362