C++ 中的 lowbit

lowbit 的定义

首先了解 lowbit 的定义

\(lowbit(n)\) ，为 \(n\) 的二进制原码中最低的一位 \(1\) 以及其后面的 \(0\) 所表示的数

举个简单的例子：

将 \(10\) 使用二进制表示为 \(1010\)

其中最低位的 \(1\) 为第2位（\(_{10}1_0\)，从右往左数）

此时 \(lowbit(10)\) 使用二进制表示为 \(10\) ，即 \(2\) . （有关进制转换详见进制与进制转换）

lowbit 的计算

如何计算 \(lowbit(n)\) 呢？

lowbit 的特殊情况

由于 lowbit 会将除最低位 \(1\) 以外所有的位 \(1\) 改为 \(0\) ， lowbit 将只会对位 \(1\) 的位数高于1的二进制数产生影响，所以位 \(1\) 只有1位的二进制数和 \(0\) 处理后将得到原数据，即：

\[lowbit(2^n) = 2^n ~~~ ( n >= 0) \]

\[lowbit(0) = 0 \]

方法一：递归

先暂时假定 \(n\) 为正整数

将 \(n\) 转换为二进制，可得： \(00...00x...xxx\) ( \(x\) 为 \(0\) 或 \(1\))

此时 \(n · 2\) 转换为二进制可得： \(00...00x...xxx · 10 ~＝~ 00...0xx...xx0\)

假设 \(n\) 转为二进制后，末尾有 \(m\) 个连续位 \(0\) （显然，此时 \(lowbit(n) ~ = ~ 2^m\) ）

因此， \(n · 2\) 转为二进制后，末尾有 \(m + 1\) 个连续位 \(0\) （此时 \(lowbit(n · 2) ~ = ~ 2^{m + 1} ~ = ~ 2^m · 2\) ）

于是我们得到了：

\[lowbit(n · 2) = lowbit(n) · 2 \]

此时 \(n · 2\) 表示为二进制是 \(00...0xx...xx0\) ，怎么样，有没有什么想法？

将 \(n · 2\) 加上 \(1\) ，得： \(00...0xx...xx0 + 1 ~ = ~ 00...0xx...xx1\)

显然：

\[lowbit(2n + 1) ~ = ~ 1 \]

观察 \(n\) 的二进制形式： \(00...00x...xxx\)

对比 \(-n\) 的二进制形式：\(10...00x...xxx\) （在原码中，我们一般使用第一位存储符号， \(0\) 为正， \(1\) 为负）

很明显， \(lowbit(n) ~ = ~ lowbit(-n)\)

无论 \(n\) 的符号为负还是为正，奇偶性都一致，因此，我们在上面推导出来的公式对负整数仍然成立

综上所述，任意奇数的 lowbit 值都为 \(1\) ，任意偶数的 lowbit 值都为其乘 \(0.5\) 得到的值的 lowbit 值乘 \(2\)

通过这种思路，我们可以编写一个递归函数计算 \(n\) 的 lowbit 值，遇到奇数直接返回 \(1\) ，遇到偶数辄除以 \(2\) 后继续计算

写成伪代码是这样的：

int lowbit(int n) {
    if (n % 2 == 1) return 1;  // Odd
    else return lowbit(n / 2) * 2;  // Even
}

方法二：公式

在方法一中，我们使用了深度优先搜索，时间复杂度可能有点高，我们当然可以使用记忆化数组降低复杂度，但，我们是否可以推导出一个公式直接计算，将复杂度降低为 \(O(1)\) 呢？

当然是可行的。还是观察 \(n\) 的二进制形式： \(00...00x...xxx\) （假定 \(n\) 为非负整数）

还是对比 \(-n\) 的二进制形式：\(10...00x...xxx\)

如果对 \(10...00x...xxx\) 每一位取反（符号位除外），我们就得到了 \(-n\) 的反码： \(11...11(-x)...(-x)(-x)(-x)\)

此时 \(-n\) 末尾的 \(0\) 全部变为 \(1\) ，而最低位的 \(1\) 也难逃变为 \(0\) 的命运

如果我们现在将其加上 \(1\) ，我们将得到 \(-n\) 的补码： \(11...11(-x)...(-x)(-x)(-x) + 1\) ，反码末尾的 \(1\) 将重新变为 \(0\) ，而最低位 \(0\) 将重新变为 \(1\) ，其他位不变，仍然是取反的状态，此时如果将 \(-n\) 的补码与 \(n\) 原码进行按位与的运算（ \(n\) 与 \(-n\) 的原码只有符号位的不同），由于除符号位、最低位 \(1\) 及其后面的位 \(0\) ，其他位都进行了取反，这些位将被赋值为 0 & 1 或 1 & 0，即 \(0\) ，而符号位也会赋值为 0 & 1 ，只剩最低位 \(1\) 及其后面的位 \(0\) 分别被赋值为 1 & 1 和 0 & 0 ，即 \(1\) 和 \(0\) ，最后结果为 \(lowbit(n)\) （或者说 \(lowbit(-n)\)）

那么 \(n\) 的反码、补码呢？上文所述的只是负数的反码与补码的计算方式，实际上，正数的原码、反码、补码都是一样的（对于原码、反码、补码，本博文已经进行了必要的解释，但如果你对其感兴趣，想知道其详细解释，可参考这篇博文：二进制｜原码、反码、补码）

众所周知， C++ 中，数字是使用补码表示的，因此，我们可以将 \(n\) 的补码视为 \(n\) 的原码，在 C++ 中进行运算。于是，我们得到了\(n\) 的原码和 \(-n\) 的补码

上文中，我们提到了将 \(n\) 的原码和 \(-n\) 的补码进行按位与运算可以得到 \(lowbit(n)\) 和 \(lowbit(-n)\) ，现在我们使用 \(n\) 的补码作为其原码（毕竟是一样的），可以得到：

\[lowbit(n) = -n ＆ n \]

显然 \(n\) 是负数也不会造成影响

于是我们成功地得到了 lowbit 的计算公式，将算法的时间复杂度降低为 \(O(1)\) ，并简化了代码：

#define lowbit(n) (-n & n)

由于使用宏定义，一定要记得打括号，位运算的优先级是最低的

lowbit 的应用

lowbit 的应用也有很多，例如树状数组等，如果你对这方面感兴趣，不妨订阅一下我的博客，我以后会发布更多有趣且有用的算法知识