C++ 空间和时间高效的二项式系数（Space and time efficient Binomial Coefficient）

这里函数采用两个参数n和k，并返回二项式系数 C(n, k) 的值。 

例子： 

输入： n = 4 和 k = 2

输出： 6

解释： 4 C 2 等于 4!/(2!*2!) = 6

输入： n = 5 和 k = 2

输出： 10

解释： 5 C 2 等于 5!/(3!*2!) = 10

        在本文中，我们讨论了 O(n*k) 时间和 O(k) 额外空间算法。C(n, k) 的值可以在 O(k) 时间和 O(1) 额外空间内计算出来。

方法：

1、如果 r 大于 nr，则将 r 更改为 nr，并创建一个变量来存储答案。

2、从 0 到 r-1 运行循环

3、在每次迭代中更新 ans 为 (ans*(ni))/(i+1)，其中 i 是循环计数器。

4、所以答案将等于 ((n/1)*((n-1)/2)*…*((n-r+1)/r)，等于 nCr。

C(n, k) 
= n! / (nk)! * k! 
= [n * (n-1) *....* 1] / [ ( (nk) * (nk-1) * .... * 1) * 
                            ( k * (k-1) * .... * 1 ) ]
简化后，我们得到
C(n, k) 
= [n * (n-1) * .... * (n-k+1)] / [k * (k-1) * .... * 1]

另外，C(n, k) = C(n, nk)   
// 如果 r > n-r，则 r 可以更改为 n-r

以下实现中利用上述公式计算C(n,k)：

// Program to calculate C(n, k) 
  
#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
  
// Returns value of Binomial Coefficient C(n, k) 
int binomialCoeff(int n, int k) 
{ 
    int res = 1; 
  
    // Since C(n, k) = C(n, n-k) 
    if (k > n - k) 
        k = n - k; 
  
    // Calculate value of 
    // [n * (n-1) *---* (n-k+1)] / [k * (k-1) *----* 1] 
    for (int i = 0; i < k; ++i) { 
        res *= (n - i); 
        res /= (i + 1); 
    } 
  
    return res; 
} 
  
// Driver Code 
int main() 
{ 
    int n = 8, k = 2; 
    cout << "Value of C(" << n << ", " << k << ") is "
         << binomialCoeff(n, k); 
    return 0; 
} 
  
// This is code is contributed by rathbhupendra

输出：
C(8, 2) 的值为 28

复杂度分析： 

时间复杂度： O(r)循环必须从 0 运行到 r。因此，时间复杂度为 O(r)。

辅助空间：O（1），因为不需要额外的空间。