多源最短路径算法 -- 弗洛伊德（Floyd）算法

1. 简介

        Floyd算法，全名为Floyd-Warshall算法，亦称弗洛伊德算法或佛洛依德算法，是一种用于寻找给定加权图中所有顶点对之间的最短路径的算法。这种算法以1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德的名字命名。

2. 核心思想

        通过考虑图中所有可能的中转点，逐步更新两点间的最短路径长度和路径信息，直至找到最终的最短路径。有的人也称之为插点法。

3. 图解

3.1 初始化

初始化：设置图的邻接矩阵dict，其中dict[i][j]表示顶点i到顶点j的直接路径权重；如果两顶点不直接相连，则设为无穷大INF。

3.2  更新最短路径

更新最短路径：把每个节点当作是中转节点，更新矩阵中的距离。

通过中间顶点 k 从顶点 i 到顶点 j 的距离 小于 直接从顶点 i 到顶点 j 的距离，更新 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]。

把0作为中转节点，此时表中黄色部分是不需要改的（都是从0出发或是直接到0的距离）,

当更新 dict[1][2]也就是1 -> 2 时，需判断 1 -> 0 和 0 -> 2 的和是否比直达的1 -> 2更小。

更新完 0作为中转节点时 数组为：

更新完 1作为中转节点时 数组为：

 更新完 2作为中转节点时 数组为：

 更新完 3作为中转节点时 数组为：

3.3 结果

        最终结果的数组中就是点到点的最短路径。

4. 代码实现

        定义了一个4x4的图，其中INF表示两个顶点之间没有直接相连的边。然后调用floyd方法计算所有顶点对之间的最短路径，并输出结果。

public class Floyd {
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; 

    public static void floyd(int[][] graph) {
        int n = graph.length; // 获取图的顶点数
        int[][] dist = new int[n][n]; 

        // 初始化矩阵
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dist[i][j] = graph[i][j]; 
            }
        }

        // 使用Floyd算法计算所有顶点之间的最短路径
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    if (dist[i][k] != INF 
                            && dist[k][j] != INF
                            && dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) { 
                        // 更新i到j的最短路径
                        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                    }
                }
            }
        }

        // 输出所有顶点之间的最短路径
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.print(dist[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] graph = {
                {0,   5  , 3  , 10 },
                {INF, 0  , 3  , INF},
                {5  , INF, 0  , 1  },
                {INF, INF, 4  , 0  }
        };
        floyd(graph); 
    }
}

5. floyd算法和Dijkstra算法的区别

        Floyd算法和Dijkstra算法都是计算图中顶点之间最短路径的著名算法，但它们的应用场景、原理和性能存在显著差异。具体分析如下：

• 应用场景

  • Dijkstra算法：适用于单源最短路径问题，即从单个源点到其他所有点的最短路径。它不能处理具有负权边的图。
  • Floyd算法：用于求解任意顶点对（多源最短路径问题）的最短路径，可以处理负权边，但不能处理包含负权回路的图。

• 算法原理

  • Dijkstra算法：基于贪心策略，每次从未确定的顶点中选择一个距离源点最近的顶点，然后更新其邻接顶点的距离。该算法需要使用优先队列来选择下一个顶点，并且初始时除源点外的所有顶点的距离都设置为无穷大。
  • Floyd算法：通过动态规划的方式，利用三层嵌套循环来计算所有顶点对之间的最短路径。算法的基本操作是比较(u,k) + (k,v)与(u,v)的长度，并据此更新(u,v)的长度。

• 时间复杂度

  • Dijkstra算法：使用优先队列优化后的时间复杂度是O((V+E) log V)，其中V是顶点数，E是边数。如果使用邻接矩阵实现且没有优化，复杂度会是O(V^2)。
  • Floyd算法：时间复杂度为O(V^3)，因为算法需要三层循环遍历所有顶点对和可能的中间顶点。

• 额外功能

  • Dijkstra算法：可以输出从源点到各顶点的最短路径。
  • Floyd算法：可以输出任意两个顶点间的最短路径及其长度。

        总之，Dijkstra算法适合解决单源最短路径问题，尤其是在没有负权边的情况下，而Floyd算法适合解决所有顶点对之间的最短路径问题，尽管它可以处理负权边的情况，却不能容忍负权回路的存在。

6. 总结 

        总的来说，Floyd算法是一种计算图中所有顶点对之间最短路径的动态规划算法，它能够处理包含负权边的图，但不允许存在负权回路。适用于小型到中等规模稠密图的算法，尤其是在需要全局最短路径信息时。对于大型稀疏图或者单源最短路径问题，其他算法如Dijkstra算法可能更加合适。