算法简易过程:
迪杰斯特拉算法(朴素) O(n^2)
G={V,E} V:点集合 E:边集合
初始化时 令 S={某源点ear}, T=V-S= {其余顶点},T中顶点对应的距离(ear, Vi)值
若存在,d(ear,Vi)为弧上的权值, dist【i】
若不存在,d(ear,Vi)为 无穷大, dist【i】
循环 n - 1次(n个点):
1、从T中选取一个与S中顶点 有关联边 且 权值最小 的顶点 pos,加入到 S中
(这里使用 flag数组来确定 是否属于 S集合,true为属于)
(等于是 每次 选取 T点集中 dist最小的顶点 作为 pos 加入 S,既 flag置为 true)
2、对其余T中顶点Vi的距离值进行修改:若加进 pos 作中间顶点,从ear -> pos -> Vi 的距离值缩短,则 更新dist
(等于是 找出所有 pos -> Vi 边(有边连接的), 再加上原来源ear -> pos 权重,对比dist数组,如果权重更小则更新 => 更新dist最短路径长度,更新prev数组 更新前驱顶点为pos)
求单源有向图最短路径
使用邻接表法来存储顶点和边,录入有向图。
(当然也可以无向图,不过录入时要录入两次,比如 a b 3 b a 3)
代码如下:
//
// Created by Giperx on 2022/11/27.
//
#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;
#define INFINE 99999 // 定义最大
// 邻接表
struct ArcNode // 边信息
{
int adjvex;//有向边的 目标顶点 下标(从1开始)
int weight;//边的权值
struct ArcNode *next; //邻接表,指向下一个邻接边信息
};
struct VertexNode // 顶点
{
int vertex;//顶点下标(1 ~)
ArcNode *firstedge;// 有向边信息节点指针(源为vertex)
};
struct AdjList // 图
{
vector<VertexNode> adjlist;//顶点数组
int vexnum; //顶点数
int arcnum; //边数
};
// 图的初始化
void createGraph(AdjList& G){
cout << "输入顶点数 边数:" << endl;
cin >> G.vexnum >> G.arcnum;
// 初始化G的顶点数组
for(int i = 0; i <= G.vexnum; i ++){ // 下标从1开始,所以初始化vexnum + 1个顶点(0无作用)
VertexNode* tmp = new VertexNode;
tmp->vertex = i, tmp->firstedge = nullptr;
G.adjlist.emplace_back(*tmp);
}
//边信息
// n1:源顶点 n2:目标顶点 we:权重(距离)
int n1, n2, we;
cout << "输入边信息:(a b we):" << endl; // a -> b weight: we
for(int i = 0; i < G.arcnum; i ++){
cin >> n1 >> n2 >> we;
// 初始化一个边节点,目标顶点为n2
ArcNode* tmp = new ArcNode;
tmp->adjvex = n2, tmp->weight = we;
// 头插法 将边信息节点插入
// 节约时间(尾插要一直遍历到尾部插入)
tmp->next = G.adjlist[n1].firstedge;
G.adjlist[n1].firstedge = tmp;
}
}
// 获取两顶点之间权重weight(距离)
int getWeight(AdjList& G, int n1, int n2){
if(n1 == n2) return 0;
ArcNode* tmp = G.adjlist[n1].firstedge;
while(tmp){
if(tmp->adjvex == n2) return tmp->weight;
tmp = tmp->next;
}
// 两点之间没有边,返回INFINE
return INFINE;
}
// 迪杰斯特拉算法(朴素)
//G={V,E} V:点集合 E:边集合
//初始化时 令 S={某源点ear}, T=V-S= {其余顶点},T中顶点对应的距离(ear, Vi)值
// 若存在,d(ear,Vi)为弧上的权值, dist【i】
// 若不存在,d(ear,Vi)为 无穷大, dist【i】
// 循环 n - 1次(n个点):
// 从T中选取一个与S中顶点 有关联边 且 权值最小 的顶点 pos,加入到 S中
// (这里使用 flag数组来确定 是否属于 S集合,true为属于)
// (等于是 每次 选取 T点集中 dist最小的顶点 作为 pos 加入 S,既 flag置为 true)
// 对其余T中顶点Vi的距离值进行修改:若加进 pos 作中间顶点,从ear -> pos -> Vi 的距离值缩短,则 更新dist
// (等于是 找出所有 pos -> Vi 边(有边连接的), 再加上原来源ear -> pos 权重,
// 对比dist数组,如果权重更小则更新 => 更新dist最短路径长度,更新prev数组 更新前驱顶点为pos)
void Dijkstra(AdjList& G, int ear, vector<int>& prev, vector<int>& dist){
// 初始化
// flag数组记录 某点是否纳入已找到点集合
// prev数组记录 前驱顶点下标
// dist数组记录 从源顶点ear 到 i顶点的最短路径
vector<bool> flag (G.adjlist.size() + 1, false);
for(int i = 1; i <= G.vexnum; i ++) dist[i] = getWeight(G, ear, i), prev[i] = ear;
flag[ear] = true, prev[ear] = 0;
// 开始
for(int i = 2; i <= G.vexnum; i ++){
int pos = 1; // 未纳入的距离最小的顶点
int weiMin = INFINE;
for(int j = 1; j <= G.vexnum; j ++){
if(!flag[j] && dist[j] < weiMin){
weiMin = dist[j], pos = j;
}
}
flag[pos] = true;
for(int j = 1; j <= G.vexnum; j ++){
if(!flag[j]){ // 未纳入点集中,找到pos到这些点的距离,与dist数组比较是否更新
int tmpWei = getWeight(G, pos, j);
if(tmpWei != INFINE) tmpWei = tmpWei + weiMin; // 两点距离应该为ear -> pos -> j
if(tmpWei < dist[j]) {
dist[j] = tmpWei; // 距离更小则更新dist
prev[j] = pos; // 前顶点更新为pos
}
}
}
}
}
// 找路径
void pathDist(vector<int>& prev, vector<int>& dist, int ear){
// prev数组中为1有2种情况(djikstra初始化过程的时候全赋值为1,后续一直未改变):
// 1:从ear到 顶点 只有 ear -> 顶点 这一条路最短
// 2:无法从ear到达的顶点
for(int i = 1; i <= prev.size() - 1; i ++){
stack<int> trace;
if(ear == i) continue;
cout << ear << " 到 " << i ;
// 无连通
if(dist[i] == INFINE) {
cout << "无连通" << endl;
continue;
}
cout << "最短距离:" << dist[i] << " 最短路径:";
int tmp = i;
while(tmp){ // 源顶点prev是0
trace.push(tmp);
tmp = prev[tmp];
}
// 开始出栈, 栈顶一定是ear源顶点
cout << trace.top();
trace.pop();
while(!trace.empty()){
cout << " -> " << trace.top();
trace.pop();
}
cout << endl;
}
}
int main(){
AdjList G;
createGraph(G);
// prev数组记录 前驱顶点下标
vector<int> prev (G.vexnum + 1, 0);
// dist数组记录 从源顶点ear 到 i顶点的最短路径
vector<int> dist (G.vexnum + 1, INFINE);
// 从源点ear 出发,到达其余所有点的最短路径
cout << "输入源顶点ear:";
int ear;
cin >> ear;
Dijkstra(G, ear,prev, dist);
pathDist(prev, dist, ear);
// for(int &x:prev) cout << x << ' ';
// for(int &x:dist) cout << x << ' ';
return 0;
}
测试如下: