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十大经典排序算法复习

时间：2022-10-15 23:13:27浏览次数：85  
标签：index 复习 元素 lst 算法 序列 排序 数据

十大经典排序算法复习

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10种经典排序算法：冒泡排序、选择排序、快速排序、归并排序、堆排序、插入排序、希尔排序、计数排序、桶排序、基数排序。

yuque_diagram

排序算法

冒泡排序

冒泡排序（Bubble Sort）是一种比较简单的排序算法，它重复地走访过要排序的元素，依次比较相邻两个元素，如果它们的顺序错误就把他们调换过来，直到没有元素再需要交换，排序完成。

算法

  • 比较相邻的元素，如果前一个比后一个大，就把它们两个对调位置。
  • 对排序数组中每一对相邻元素做同样的工作，直到全部完成，此时最后的元素将会是本轮排序中最大的数。
  • 对剩下的元素继续重复以上的步骤，直到没有任何一个元素需要比较。

冒泡排序每次找出一个最大的元素，因此需要遍历 n-1 次 （n为数据序列的长度）。

  • 什么时候最快（Best Cases）：当输入的数据已经是正序时。

  • 什么时候最慢（Worst Cases）：当输入的数据是反序时。

程序

# 冒泡排序
def bubble_sort(lst):
    n = len(lst)
    for i in range(n):  #[0,n)
        for j in range(1, n - i):   #[1,n-1)
            if lst[j - 1] > lst[j]:
                lst[j - 1], lst[j] = lst[j], lst[j - 1]
    return lst

选择排序

选择排序（Selection Sort）

算法

  • 每一轮从待排序的记录中选出最小的元素，存放在序列的起始位置

  • 然后再从剩余的未排序元素中寻找到最小元素，然后放到已排序的序列的末尾

  • 以此类推，直到全部待排序的数据元素的个数为零，得到数值从小到达大的数据序列

也可以每一轮找出数值最大的元素，这样的话，排序完毕后的数组最终是从大到小排列。

选择排序每次选出最小（最大）的元素，因此需要遍历 n-1 次。

程序

# 选择排序
def selection_sort(lst):
    n=len(lst)
    for i in range(n- 1):
        min_index = i
        for j in range(i + 1, n):
            if lst[j] < lst[min_index]:
                min_index = j
        lst[i], lst[min_index] = lst[min_index], lst[i] #交换位置
    return lst

快速排序

快速排序（Quick Sort），是在上世纪60年代，由美国人东尼·霍尔提出的一种排序方法。这种排序方式，在当时已经是非常快的一种排序了，因此在命名上，才将之称为“快速排序”。

算法

  • 先从数据序列中取出一个数作为基准数（baseline，习惯取第一个数）。

  • 分区过程，将比基准数小的数全放到它的左边，大于或等于它的数全放到它的右边。

  • 再对左右区间递归(recursive)重复第二步，直到各区间只有一个数。

因为数据序列之间的顺序都是固定的，最后将这些子序列一次组合起来，整体的排序就完成了。

如下图，对于数据序列，先取第一个数据 15为基准数，将比 15 小的数放在左边，比 15 大（大于或等于）的数放在右边：

图片

接下来，对于左边部分，重复上面的步骤，取左边序列的第一个数据 11 为基准数，将比 11 小的数放在左边，比 11 大（大于或等于）的数放在右边：

图片

继续递归重复上述过程，直到每个区间只有一个数。这样就会完成排序。

程序

# 快速排序
def quick_sort(lst):
    n = len(lst)
    if n <= 1:
        return lst
    baseline = lst[0]
    left = [lst[i] for i in range(1, n) if lst[i] < baseline]   #取baseline左边序列
    right = [lst[i] for i in range(1, n) if lst[i] >= baseline] #取baseline右边序列
    return quick_sort(left) + [baseline] + quick_sort(right)

归并排序

归并排序（Merge Sort）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法的一个非常典型的应用，归并排序将两个已经有序的子序列合并成一个有序的序列。

算法

  • 拆分：首先使用拆分的方法将这个序列分割（中间位置）成一个个已经排好序的子序列（直到剩下一个元素）
  • 合并：然后再利用归并方法将一个个有序的子序列合并成排好序的序列

例如：对于数据序列 [15,11,13,18,10] ，我们从首先从数据序列的中间位置开始拆分，中间位置的设置为\(mid =\frac{n}{2}\)，首次拆分如下：

图片

第一次拆分后，依次对子序列进行拆分，拆分过程如下：

图片

合并过程中，对于左右分区以及其子区间，递归使用合并方法。先从左边最小的子区间开始，对于每个区间，依次将最小的数据放在最左边，然后对右边区间也执行同样的操作。

合并过程的完整图示如下：

图片

程序

# 归并排序
def merge_sort(lst):
    def merge(left,right):
        i = 0
        j = 0
        result = []
        while i < len(left) and j < len(right):
            if left[i] <= right[j]:
                result.append(left[i])
                i += 1
            else:
                result.append(right[j])
                j += 1
        result = result + left[i:] + right[j:]
        return result
    n = len(lst)
    if n <= 1:
        return lst
    mid = n // 2
    left = merge_sort(lst[:mid])    # [0,mid)
    right = merge_sort(lst[mid:])   # [mid n)
    return merge(left,right)

堆排序

  • 堆定义：

对于 n 个元素的数据序列 ，当且仅当满足下列情形之一时，才称之为堆：

（1）小顶堆

图片

如图：

图片

（2）大顶堆

图片

如图：

图片

若序列$\left {k_0,k_1,...,k_{n-1}\right } $是堆，则堆顶元素必为序列中n个元素的最小值或最大值。

若在输出堆顶的最小值（或最大值）之后，使得剩余\(n-1\)个元素的序列重又建成一个堆，则得到\(n\)个元素的次小值（或次大值），如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为堆排序。

  • 堆存储：

一般用数组来表示堆，若根结点存在序号 \(0\) 处， \(i\) 结点的父结点下标就为 \((i-1)/2\)，\(i\) 结点的左右子结点下标分别为 \(2*i+1\)和 \(2*i+2\) 。

对于上面提到的小顶堆和大顶堆，其数据存储情况如下（每幅图的右边为其数据存储结构，左边为其逻辑结构。）：

图片

图片

算法

实现堆排序需要解决两个问题：

  • 如何由一个无序序列建成一个堆？

假设初始的数据序列如下：

图片

咱们首先需要将其以树形结构来展示，如下：

图片

初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。

最后一个非叶子元素的下标是 \([n/2]\) 向下取整，所以筛选只需要从第 \([n/2]\) 向下取整个元素开始，从后往前进行调整。从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左边子节点、右边子节点中进行比较交换，交换可能会引起子结点不满足堆的性质，所以每次交换之后需要重新对被交换的子结点进行调整。

以小顶堆为例，构造初始堆的过程如下：

图片

  • 如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？

堆排序是一种选择排序，建立的初始堆是无序区。

排序开始，首先输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，这样第n个位置（即最后一个位置）作为有序区，前n-1个位置仍是无序区，对无序区进行调整，得到新堆之后，再交换堆顶和最后一个元素，这样有序区长度变为2。

图片

交换堆顶元素和最后的元素：

无序区-1，有序区+1：

图片

不断进行此操作，将剩下的元素重新调整为堆，然后输出堆顶元素到有序区，每次交换都导致无序区-1，有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1，排序完成。

程序

# 堆排序
def heap_sort(lst):
    def adjust_heap(lst, i, size):
        left_index = 2 * i + 1
        right_index = 2 * i + 2
        largest_index = i
        if left_index < size and lst[left_index] > lst[largest_index]:
            largest_index = left_index
        if right_index < size and lst[right_index] > lst[largest_index]:
            largest_index = right_index
        if largest_index != i:
            lst[largest_index], lst[i] = lst[i], lst[largest_index]
            adjust_heap(lst, largest_index, size)

    def built_heap(lst, size):
        for i in range(len(lst)//2)[::-1]:
            adjust_heap(lst, i, size)

    size = len(lst)
    built_heap(lst, size)
    for i in range(len(lst))[::-1]:
        lst[0], lst[i] = lst[i], lst[0]
        adjust_heap(lst, 0, i)
    return lst

插入排序

插入排序(Insertion Sort)就是每一步都将一个需要排序的数据按其大小插入到已经排序的数据序列中的适当位置，直到全部插入完毕。

算法

  • 首先选取第一个值作为有序序列
  • 然后对无序序列中的值逐个插入到有序序列中

程序

# 插入排序
def insertion_sort(lst):
    for i in range(len(lst) - 1):   #[0,n-1)
        cur_num, pre_index = lst[i+1], i
        while pre_index >= 0 and cur_num < lst[pre_index]:
            lst[pre_index + 1] = lst[pre_index]
            pre_index -= 1
        lst[pre_index + 1] = cur_num
    return lst

希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种更高效率的实现，先分组，再插入排序。

希尔排序的核心在于间隔序列的设定，既可以提前设定好间隔序列，也可以动态的定义间隔序列。

算法

这里以动态间隔序列为例来描述：初始间隔（gap值）为数据序列长度除以2取整，后续间隔以前一个间隔数值除以2取整为循环，直到最后一个间隔值为 1 。

  • 对于下面这个数据序列，初始间隔数值为5：

图片

  • 先将数据序列按间隔进行子序列分组，第一个子序列的索引为[0,5,10]，这里分成了5组。

图片

  • 为方便大家区分不同的子序列，对同一个子序列标注相同的颜色，分组情况如下：

图片

  • 分组结束后，子序列内部进行插入排序，gap为5的子序列内部排序后如下：

图片

红色箭头标注的地方，是子序列内部排序后的状态：

图片

  • 接下来选取第二个间隔值，按照间隔值进行子序列分组，同样地，子序列内部分别进行插入排序；

    如果数据序列比较长，则会选取第3个、第4个或者更多个间隔值，重复上述的步骤。

图片

  • gap为2的排序情况前后对照如下：

图片

  • 最后一个间隔值为1，这一次相当于简单的插入排序，但是经过前几次排序，序列已经基本有序，因此最后一次排序时间效率就提高了很多。

图片

程序

# 希尔排序
def shell_sort(lst):
    n = len(lst)
    gap = n // 2
    while gap > 0:
        for i in range(gap, n):
            for j in range(i, gap - 1, -gap):
                if lst[j] < lst[j - gap]:
                    lst[j], lst[j - gap] = lst[j - gap], lst[j] #交换
                else:
                    break
        gap //= 2
    return lst

计数排序

计数排序（Counting Sort）的核心是将输入的数据值转化为键，存储在额外开辟的数组空间中。计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。

算法

  • 先找出待排序的数组中最大和最小的元素，新开辟一个长度为 最大值-最小值+1 的数组；

图片

  • 然后，统计原数组中每个元素出现的次数，存入到新开辟的数组中：

图片

  • 接下来，根据每个元素出现的次数，按照新开辟数组中从小到大的次序，依次填充到原来待排序的数组中，完成排序：

图片

程序

# 计数排序
def counting_sort(lst):
    nums_min = min(lst)
    bucket = [0] * (max(lst) + 1 - nums_min)
    for num in lst: #统计次数
        bucket[num - nums_min] += 1
    i = 0
    for j in range(len(bucket)):
        while bucket[j] > 0:
            lst[i] = j + nums_min
            bucket[j] -= 1
            i += 1
    return lst

桶排序

桶排序（Bucket Sort）就是把数据分组，放在一个个的桶中，对每个桶里面的数据进行排序，然后将桶进行数据合并，完成桶排序。

该算法分为四步，包括划分桶、数据入桶、桶内排序、数据合并。

算法

  • 划分桶

对于一个数值范围在10到49内的数组，我们取桶的大小为10 （defaultBucketSize = 10），则第一个桶的范围为10到20，第二个桶的数据范围是20到30，依次类推，最后，我们一共需要4个桶来放入数据。

图片

图片

对于下面这个数据序列，初始设定桶的大小为 20 （defaultBucketSize = 20），经计算，一共需要4个桶来放入数据。

图片

  • 数据入桶

然后将原始数组按数值大小放入到对应的桶中，完成数据分组：

图片

  • 桶内排序

对于桶内的数据序列，这时可以用冒泡排序、选择排序等多种排序算法来对数据进行排序，这里选用 冒泡排序 来对桶内数据进行排序：

图片

  • 数据合并

桶内排序完成后，将数据按桶的顺序进行合并，这样就得到所有数值排好序的数据序列：

图片

程序

# 桶排序
def bucket_sort(lst, defaultBucketSize=4):
    maxVal, minVal = max(lst), min(lst)
    bucketSize = defaultBucketSize
    bucketCount = (maxVal - minVal) // bucketSize + 1
    buckets = [[] for i in range(bucketCount)]  #桶划分
    for num in lst: #数据入桶
        buckets[(num - minVal) // bucketSize].append(num)
    lst.clear()
    for bucket in buckets:
        bubble_sort(bucket)     #桶内排序
        lst.extend(bucket)      #数据合并
    return lst

基数排序

基数排序（radix sort）属于“分配式排序”（distribution sort），它是透过键值的部份信息，将要排序的元素分配至某些“桶”中，以达到排序的作用。

基数排序适用于所有元素均为正整数的数组。

排序过程分为“分配”和“收集”。

排序过程中，将元素分层为多个关键码进行排序（一般按照数值的个位、十位、百位、…… 进行区分），多关键码排序按照从最主位关键码到最次位关键码或从最次位到最主位关键码的顺序逐次排序。

基数排序的方式可以采用最低位优先LSD（Least sgnificant digital）法或最高位优先MSD（Most sgnificant digital）法，LSD的排序方式由键值的最右边开始，而MSD则相反，由键值的最左边开始。

LSD的基数排序适用于位数小的数列，如果位数多的话，使用MSD的效率会比较好，MSD的方式恰与LSD相反，是由高位数为基底开始进行分配，其他的演算方式则都相同。

算法

以最低位优先LSD为例

  • 分配&收集

先根据个位数的数值，在扫描数值时将它们分配至编号0到9的桶中，然后将桶子中的数值串接起来：

图片

图片

将这些桶子中的数值重新串接起来，成为新的序列，接着再进行一次分配，这次是根据十位数来分配：

图片

图片

如果排序的对象有三位数以上，则持续进行以上的动作直至最高位数为止。

程序

# 基数排序
def radix_sort(lst):
    mod = 10
    div = 1
    mostBit = len(str(max(lst)))
    buckets = [[] for row in range(mod)]
    while mostBit:
        for num in lst:
            buckets[num // div % mod].append(num)   #取个/十/百..位数
        i = 0
        for bucket in buckets:
            while bucket:
                lst[i] = bucket.pop(0)  #将桶中的数值串起来
                i += 1
        div *= 10
        mostBit -= 1
    return lst

分析

img

解释：

  • 稳定：如果原本序列中a在b前面且a=b，排序后a仍在b前面，顺序不变；

  • 不稳定：如果原本序列中a在b前面且a=b，排序后a可能在b后面，顺序可能发生改变；

  • 内排序：所有排序操作均在内存中完成；

  • 外排序：由于数据量太大，将其放入磁盘中，排序过程中需要磁盘与内存之间的数据传输；

  • 时间复杂度：一个排序算法在执行过程中所耗费的时间量级的度量；

  • 空间复杂度：一个排序算法在运行过程中临时占用存储空间大小的度量；

规律：

  1. 稳定性记忆方法——“快-希-选-堆”不稳定。

  2. 需要使用额外空间的四种排序——基数、计数、桶排、归并。

  3. 常用时间复杂度大小关系：\(O(1)<O(logn)<O(n)<O(n logn)<O(n²)<O(n³)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)\)。

  4. 空间复杂度为$O(1) $的排序：冒泡、插入、选择、希尔、堆排；

  5. 时间复杂度最优情况可达\(O(n)\)的排序：冒泡、插入、桶排；

  6. 最优、平均、最差时间复杂度一致的排序：选择、堆排、归并、基数、计数；

  7. 最差情况下时间复杂度仍为\(O(n logn)\)的排序：堆排、归并；

  8. 最差情况下时间复杂度仍在线性时间范围内的排序：计数；

选取：

  1. 如果待排序列中数据含有大量重复值——优先使用计数排序；

  2. 如果待排序列中数据近乎有序——优先使用插入排序；

  3. 如果待排序列中数据取值范围有限——优先使用计数排序；

  4. 如果待排序列中数据要求稳定——优先使用归并排序；

  5. 如果待排序列需要使用链表——优先链表归并、链表快排；

  6. 如果待排序列中数据无法全部装到内存——优先使用外部排序；

参考

1、https://mp.weixin.qq.com/s/2_G89v9PR7g9O7U4cOdnKg

2、https://blog.csdn.net/weixin_42711189/article/details/116351162

3、完整代码：见github

标签：index,复习,元素,lst,算法,序列,排序,数据
From： https://www.cnblogs.com/pam-sh/p/16795304.html

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