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小学二年级都能看懂的 KMP算法详解

时间:2022-10-08 20:46:03浏览次数:81  
标签:主串 匹配 模式 next 二年级 能看懂 KMP 我们

介绍

先上一道模板题:P3375 【模板】KMP字符串匹配

(难以想象这只是一道黄题) (而manacher竟然是蓝题)

大意就是给你两个字符串,问其中一个在另一个里面出现过几次。至于border什么的,当你写出KMP时,你也就算出来了

为方便理解,提前定义一下:模式串表示被拿去匹配的字符串,而主串则是另一个串。如样例中,模式串为"ABA",主串为"ABABABC"

暴力?

(如果不想看暴力思想的可以直接跳到KMP介绍)

在样例解释中有这么一张图:

这张图展现的就是最朴素的暴力的过程:我们把模式串放在主串的每一位上,看看能不能匹配上。
具体实现就是维护两个指针: \(i\) 指主串,\(j\) 指向模式串,先让 \(i=0,j=0\),接着不断 \(i++,j++\) 直到不匹配或者模式串匹配失败,然后再让 \(i=1,j=0\) 继续匹配,以此类推
假设模式串长度为 \(n\) ,主串长度为 \(m\) ,显然时间复杂度为 \(\Theta(nm)\)。

考虑优化:我们发现,第一次匹配完成之后,由于我们已知模式串第一位的A与主串第二位的B压根就不匹配,我们大可以直接跳过第二位,直接把模式串放在第三位上开始匹配。换言之,我们每一次在主串的 \(i\) 、模式串的 \(j\) 处匹配失败或结束匹配时,由于 \(j-1\) 是已经匹配好了的,所以我们可以把模式串 \(j-1\) 处的字符上一次出现的位置拎过来匹配。

比如模式串"ACBCA"和主串"ACBCBCA",我们会在第五位 "A" 和 "B" 处匹配失败,这时候我们把上一位 "C" 上一次出现的位置拎过来,并继续匹配。等于在匹配"ACBCA"和"BCBCA"。

但是这么做有个问题:如果从 "C" 处开始往后匹配,我们会得到"ACBCA"与"BCBCA"能够匹配的错误答案。从开头处开始匹配,等于说每一次匹配失败又要从头开始匹配,稍微卡一卡数据(比如一串a),时间复杂度又退化成 \(\Theta(nm)\) 了

看起来这个"拎过来"的思想可以继续优化,那么,我们有没有一种办法,可以使字符串不从头匹配的同时,还能精准“拎”到正确的位置呢?


过不去那道题?
事实:它数据很大
而暴力是 \(\Theta(nm)\)
它最慢了!

介绍——KMP!

我们看这么一个例子:模式串 "ABBABA" 和主串 "ABBABBABA",用 \(i\) 记录在主串中匹配到的位置,\(j\) 记录在模式串中匹配到的位置(为了方便,下标从零开始)

显然,我们这时候会在 \(i=5,j=5\) 时匹配失败,这时候我们不难发现:此时标蓝色的"AB"已经匹配成功了,而如果我们把模式串已经存在的红色的"AB"拎过来,就能直接和主串的 "AB" 匹配上。具体实现即为直接 \(i\) 不变,\(j\) 指向模式串第三位 "B"。此时,模式串位于 \(j\) 前面的已经全部匹配完成,现在继续匹配 \(i,j\)

我们不难发现:对于每一个 \(j\),在该位置匹配失败后应 \(j\) 该跳转到的继续匹配位置为“对于模式串 \(0\) 到 \(j-1\) 构成的子串,对于所有 \(s\) 的一个非 \(s\) 本身的前缀 \(t\),满足 \(t\) 同时也是 \(s\) 的后缀,长度最长的 \(t\) 的结尾往右一位”

我们可以用 \(next_{j-1}\) 来表示该位置,特别地,当 \(j=0\) 却仍然匹配失败时,我们直接让 \(i++\)。(换言之,我们每次匹配失败后都让 \(j=next_{j-1}\) 继续匹配直到 \(j=0\))

我们用 \(s\) 表示模式串,两个下标 \(i,j\) ,其中 \(i\) 表示此时处理到了 \(next_i\),\(j\) 则表示上一个 \(t\) 的结尾(即 \(next_{i-1}\))。由于 \(next_0\) 不需要处理,所以初始化 \(i=1,j=0\)。我们分类讨论

第一种情况:\(s_i=s_j\) (红色位置为 \(j\),蓝色位置为 \(i\))

这时候就很愉快,直接让 \(j++,next_i=j\) 就好

第二种情况:\(s_i\neq s_j\)

这时候该怎么办呢?可以发现:我们在求 \(next\) 过程中,所做的实际上就是用模式串去匹配自己的后缀,那么根据 \(next\) 的定义,我们直接让 \(j=next_{j-1}\) ,直到 \(s_i=s_j\) 或 \(j=0\) 即可

kmp的核心思想就这些了,代码如下:

n=s1.size(),m=s2.size();
for(int i=1,j=0;i<m;i++){
	while(j>0&&s2[i]!=s2[j])
		j=nxt[j-1];
	if(s2[i]==s2[j])
		j++;
	nxt[i]=j;
}
for(int i=0,j=0;i<=n;){
	if(j==m)
		j=nxt[j-1]; //此时匹配结束,也就相当于在这位匹配失败了,所以j=nxt[j-1]
	if(s1[i]==s2[j]) 
                i++,j++;
	else if(j!=0) 
                j=nxt[j-1];
	else 
                i++;
}

标签:主串,匹配,模式,next,二年级,能看懂,KMP,我们
From: https://www.cnblogs.com/WhangZjian/p/16743125.html

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