KMP算法

KMP算法可以看做是对暴力求解的一种改进，在前面的暴力算法中，i指针和j指针都是要回溯的，这是不合理的，因为当发现不匹配的时候，已经扫描到的区域我们其实是已知的，如下图所示

当我们发现不匹配后，我们其实已经知道了主串的第1到第5个字符是什么，其实就是模式串前面的字符，KMP算法就是将这些信息利用起来从而将时间复杂度优化到O(n)
既然前面的信息我们已经有了，我们其实完全不用回溯i指针，只需要回溯j指针，下面我们来看如何利用起来。
就那上面的例子来说，当第六个元素不匹配后，主串的1_{5和模式串的1}5其实是一样的，读者可以看一下，我是否可以直接将j回溯到3号元素的位置而不回溯i，显然是可以的，因为i前面的两个字符是a和b，而3号位置的两个元素也是a和b，相当于少匹配了两个字符，只回溯j，不回溯i，这就是KMP算法的核心思想。
下面我们来看一下为什么我可以把j移动到3号位置，而不动i，为什么不是其他的位置呢？
可以对比上图，首先我们知道下一个要匹配的字符是i，我们假设我们要回溯到模式串第k个位置，那么这个k必须具备这样一个性质，就是k前面的所有字符必须和i前面的字符匹配上，我们可以看到上图，主串第6号位置前面的字符为abaab，如果j回溯到模式串3号位置，模式串3号前面的a和b正好可以和主串6号位置前面的ab匹配上，此时就可以继续往下匹配，但如果j回溯到4号位置，那模式串4号位置前面的aba就无法和主串6号位置前面的aab匹配上，所以这就不可行。
如果能理解上面加粗的话，那么我们就可以再深入一步，当匹配到6号位置的时候，实际上我们直到主串1_{5的位置和模式串1}5的位置一定是一样的，所以，i前面末端的所有字符，就等于j前面的末端的所有字符，所以，我也可以这么说，我们假设匹配失败要回溯到模式串的第k个字符，那么k前面的所有字符必须和j前面的字符匹配上，因为j前面的字符和i前面的字符是一样的，我希望读者可以深入理解一下这句话，如果理解透彻了，就会发现，这个k的取值现在和主串就没关系了，发现了吗？只要k前面的所有字符能够和i前面的字符匹配上就可以了，所以能决定k取值的只有模式串本身和j目前的取值。

既然回溯位置只和模式串本身和匹配失败的位置有关系，我们就针对这个模式串来分析一下j处于不同的情况下需要回溯的情况，从后往前分析
如果匹配到第六个字符失败了，假设我们要回溯到第k个位置，那么k位置前面的所有字符应该和第六个字符前面的字符匹配上，很显然应该指向3的位置，因为3号位置前面的所有字符为ab，而6号位置前面的字符也为ab，可以匹配上。
如果匹配到第五个字符失败了，假设我们要回溯到第k个位置，那么k位置前面的所有字符应该和第五个字符前面的字符匹配上，可以观察出应该指向2号位置，因为2号位置前面的所有字符为a，5号字符前面的字符也是a，如果指向其他地方都是匹配不上的，比如指向4，4前面的字符为aba，而5前面的字符为aab，很显然匹配不上
如果匹配到第四个字符失败了，按照前面的规则，我们也可以看出，如果我们回溯到2号位置，那么2号位置前面的a和4号位置前面的a匹配上了，所以应该回溯到2号位置
如果匹配到3号位置失效，此时不论k回溯到1还是2，都无法满足规则，如下图所示

可以观察到，这种情况下，下一个要匹配的字符其实是模式串的1号位置，所以当第三个位置匹配失败的时候，我们应该回溯到模式串的1号位置
如果第二号位置匹配失败呢，如下图所示

其实这种情况很简单，j是回溯，又不能往后跑，所以j只能回溯到1号位置，所以其实对于任意的模式字符串，只要是第二个元素匹配失败，他都只能回溯到第一个元素上去。
情况特别一点的是第一个位置匹配失败，如下图所示

这个时候由于第一个元素直接就匹配失败了，我们应该继续匹配下一个元素，应该让i+1，j保持不动，这样固然没有问题，但是我们发现，我们每次进行匹配都会让i的值和j的值同时加一，我们可以利用这个同时+1的算法，让j的值回溯到0，然后j和i同时+1即可，这样做虽然对代码逻辑没有任何影响，但可以减少代码量，也算是一种优化。
上面我们分清楚了j处于每一个位置时匹配失败的回溯位置，如下所示

• 第六个元素匹配失败，i=3
• 第五个元素匹配失败，i=2
• 第四个元素匹配失败，i=2
• 第三个元素匹配失败，i=1
• 第二个元素匹配失败，i=1
• 第一个元素匹配失败，i=0（i和j都要加一）

我们可以将这个信息列成一张表

我们称这张表为next表，next[j]表示第j个元素匹配失败的时候j指针应该回溯的位置
有了这张表之后，我们就可以尝试来写出KMP算法了

int KMP(myString *s,myString *t,int *next){//s为主串，t为模式串，还需要把next数组传入
    //初始化1和j
    int i = 1;
    int j = 1;
    while(i < s.length && j < j.length){
    	if(s[i] == j[i] || j == 0){
            //如果能匹配上，匹配下一个元素，如果j为0，也让他们都加一
            i++;
            j++;
        }else{
            //如果匹配不上，进行回溯，这里只回溯j
            j = next[j];
        }
    }
    //出循环的时候，说明i和j至少有一个越界
    if(j > t.length){//如果j比t.length大，说明j被完完整整匹配了一遍，此时j的值为t.length+1
        return i-t.length;//返回值应该是开始匹配的第一个元素位置，应该是i-j+1，化简后为i-t.length
    }else{
        return -1;
    }
    
}

如果理解了KMP算法的核心逻辑，那么这个算法理解起来就没有什么难度，唯一的难点在于第六行代码，当j==0的时候，我们同样要让i和j相加，因为当j==0的时候，表示上一次匹配的第一个元素匹配就失败了，所以需要将j回溯到0，让i和j都加1，这是前面提过的。
KMP算法由于i指针不回溯，最坏时间复杂度只会到O(n)，以上就介绍完了KMP算法。

综合来看KMP算法的最坏时间复杂度其实是O(m+n)，这是因为求next数组其实是需要一个O(m)时间复杂度的算法

下面讲一下手算next数组的技巧，next[j]其实就是第j个字符匹配不上的时候应该回溯到的位置，而回溯到的那个位置前面所有的字符，应该和第j个位置前面的字符匹配上，这是前面讲过的。
在讲技巧之前，先来了解一下前后缀的概念，字符串的前缀，就是字符前面的n个连续字符字符，例如"abcd"的前缀一共有"a"，"ab"，"abc"，"abcd"四个，而后缀正好相反，就是尾部n个连续字符，这个字符串的后缀有"d","cd","bcd","abcd"四个。
我们计算next[j]，其实就是计算前面的第1到第j-1这个字符串除自身以外的最长公共前后缀的个数+1
我们举个例子来理解，例如"google"这个字符串
如果第四个位置匹配失败，前面三个字符就是goo，他的前缀有g,go,goo三个，后缀有o,oo,goo三个，我们抛开goo自身，前缀就只有g,go，后缀就只有o,oo，这显然没有公共前后缀，公共前后缀就是0，所以0+1就是1，所以next[4] =0+1=1。
同理如果我们要求next[5]，也就是第5个字符匹配失败应该回溯的位置，前4个字符除去自身以外的前缀有g,go,goo，后缀有g,og,oog，这个时候发现前缀的g和后缀的g相等，没有其他的前后缀相等，他的长度为1，所以next[5] = 1+1=2
对于第二个元素匹配失败的情况，由于其前面只有一个字符，公共前后缀长度必为0，所以一定回溯到1。
而对于第一个元素匹配失败的情况，一定是回溯到0这个位置，至于为什么我们前面提到过，如果忘记了可以翻看前面的算法。

考研并不要求掌握求next数组的计算机算法，只要求可以手算即可