数量关系

等差数列

• 求和公式：(上底+下底)×高/2 = 平均数×高 = n×首项+(n(n-1))/2×公差
• 通项公式：首项+(n-1)×公差

某水果种植特色镇创办水果加工厂，从去年年初开始通过电商平台销售桃汁、橙汁两种产品。从去年2月开始，每个月桃汁的销量都比上个月多5000盒，橙汁的销量都比上个月多2000盒。已知去年第一季度桃汁的总销量比橙汁少4.5万盒，则去年桃汁的销量比橙汁：

A . 少不到5万盒 B . 少5万盒以上 C . 多不到5万盒 D . 多5万盒以上

第一季度指的是1、2、3月。设1月桃汁x万盒，橙汁y万盒，则(x+x+0.5+x+1)+4.5=(y+y+0.2+y+0.4)得到y-x=1.8。进一步地，求全年销量，桃汁12x+(12*11)/2*0.5=12x+33，橙汁12y+(12*11)/2*0.2=12y+13.2，则12x+33-12y-13.2=-12(y-x)+19.8=-21.6+19.8=-1.8<5，故选A。

倍率比值

列方程求解即可。

企业列出500万元设备采购预算，如用于购买x台进口设备，最后剩余20万元。经董事会研究后，决定购买质量更高的同类国产设备，单价仅为进口设备的75%。当前预算可购买x+3台，最后剩余5万元。问国产设备的单价在以下哪个范围内？

A.不到30万元/台 B.30—40万元/台之间 C.40—50万元/台之间 D.50万元/台以上

列式得到500-xy=20 -> xy=480，500-(x+3)(3/4)y=5 -> 500-360-9/4y=5 -> 9/4y=135 -> 3/4y=45，故选C。

工程

某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A和B两条生产线，A和B的工作效率之比是2∶3，计划8天可完成订单生产任务。两天后公司又投产了生产线C，A和C的工作效率之比为2∶1。问该批口罩订单任务将提前几天完成？

可知生产效率A:B:C=2:3:1，总工作量(2+3)×8=40，前两天完成(2+3)×2=10，剩余30，合作状态下需要30/(2+3+1)=5天，相比之前提前6-5=1天。

行程

列方程求解即可。

李某骑车从甲地出发前往乙地，出发时的速度为15千米/小时，此后均匀加速，骑行25%的路程后速度达到21千米/小时。剩余路段保持此速度骑行，总路程前半段比后半段多用时3分钟。问甲、乙两地之间的距离在以下哪个范围内？

A. 不到23千米 B. 在23—24千米之间 C. 在24—25千米之间 D. 超过25千米

前25%平均速度(15+21)/2=18，后75%速度均为21。将路程分为四段，则前半段和后半段的一份对应抵消（不妨设为第2、4段），时间差来源于第1、3段。设总路程4x，则x/18-x/21=3/60，解得x=6.3，则4x=25.2，故选D。

利润利率

利润 = 售价－成本；利润率 = 利润 / 成本。

某公司A商品利润为定价的30％，前年销量为10万个；B商品利润为定价的40％，前年销量为4万个。去年公司将A、B商品捆绑销售，售价为前年两种商品定价之和的90％，共卖出8万套，总利润比前年增加了20％。如两种商品去年的成本与前年相同，则前年A商品的定价为B商品定价的（ ）%？

设前年A定价x，B定价y，那么利润为0.3x和0.4y，成本为0.7x和0.6y。前年总利润3x+1.6y；去年总利润8*(0.9(x+y)-0.7x-0.6y)=1.6x+2.4y，则(1.6x+2.4y)/(3x+1.6y)=1.2，解得x/y=0.24，即答案为24%。

排列组合

• 加法原理与乘法原理：加法原理区分类别，乘法原理用于步骤。
• 排列数与组合数：\(A^m_n=n(n-1)\cdots(n-m+1)\)（从n开始走m个），特别地\(A_n^n=n!\)；\(C^m_n=A^m_n/m!\)（分子从n开始走m个，分母从m走到1），\(C_n^m=C_n^{n-m}\)。

环保局某科室需要对四种水样进行检测，四种水样依次有5、3、2、4份，检测设备完成四种水样每一份的检测时间依次为8分钟、4分钟、6分钟、7分钟。已知该科室日最多可使用检测设备38分钟，如今天之内要完成尽可能多数量样本的检测，问有多少种不同的检测组合方式?

贪心地选择检测耗时短的，4×3=12，2×6=12，剩余14分钟刚好检测2份7分钟的，故选取方案有C(2, 4)=(4*3)/(2*1)=6种。

概率

• 古典概型：\(P_A=S_A/\sum S\)，事件A发生的概率为事件A包含的等可能样本数除以样本空间内的总样本数
• 独立事件：两个相互独立事件同时发生概率等于两者概率之积
• 独立重复试验：事件以概率p发生，n次实验中发生k次的概率为\(C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\)
• 正难则反：概率 = 1－对立事件概率

某单位有甲和乙2个办公室，分别有职工5人和4人。每周从这9名职工中随机抽取1人下沉社区担任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问7月前2周的志愿者均来自甲办公室的概率在以下哪个范围内？

A. 不到25%；B. 25%~35%；C. 35%~45%；D. 超过45%

每周的概率为5/9，两周的抽取独立，则结果为(5/9)^2=25/81=0.30...，故选B。

几何

画图帮助理解；记住常见勾股数。

一个圆形的人工湖，直径为50公里，某游船从码头甲出发，匀速直线行驶30公里到码头乙停留36分钟，然后到与码头甲直线距离为50公里的码头丙，共用时2小时。问该游船从码头甲直线行驶到码头丙需用多少时间？

甲→乙=30，甲→丙=50=直径，直径所对圆周角为直角，故乙→丙=40，那么70耗时120-36=84分钟，则50耗时5/7×84=60分钟。

最值

从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨，已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。问这6辆货车中装货第三重的卡车至少装载了多少吨？

A.59 B.60 C.61 D.62

贪心地使其他卡车多装就可以最小化第三重卡车的装载量。总装载量为62×6=372。则第一装71，第二装70，第三装x，第四装x-1，第五装x-2，第六装54，即71+70+x+x-1+x-2+54=372，解得x=60，故选B。

容斥

解题时可以画 Venn 图帮助理解。

• 两集合容斥：\(A \cup B=A+B - A \cap B\) （相加减交）
• 三集合容斥：\(A\cup B \cup C = A + B + C - A \cap B-A \cap C - B \cap C + A \cap B \cap C\) （相加减二交加三交）

某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？

不妨设结果为x，则根据三集合容斥有A+B+C=22+27+25=74，\((A \cap B-A \cap B \cap C)+(A \cap C-A \cap B \cap C)+(B \cap C-A \cap B \cap C)=24\)，那么40=74-(24+3x)+x，解得x=5。