二、假设我们将球投入到b个箱子里,直到某个箱子中有两个球。每一次投掷都是独立的并且每个球落入任何箱子的机会均等。请问投球次数期望是多少?
文心一言:
这是一个典型的鸽巢原理(Pigeonhole Principle)问题。假设每次投球时,每个箱子有1/b的概率被选中。我们设投球次数为x。
我们首先考虑,在前x-1次投球中,没有任何一个箱子中有两个球的概率。我们可以将这个概率表示为:
P(no two balls in any box | first x-1 throws) = (b-1) / b × (1/b) × ... × (1/b) = (b-1)/b^(x-1)
这个概率表示在前x-1次投球中,每个箱子最多只有一个球的概率。因为每次投球时,每个箱子有1/b的概率被选中,所以前x-1次投球中,每个箱子最多只有一个球的概率是(b-1)/b × (1/b) × ... × (1/b) = (b-1)/b^(x-1)。
根据鸽巢原理,在第x次投掷时,至少有两个球会在同一个箱子中的概率是1减去前x-1次投球中没有任何一个箱子中有两个球的概率,即:
P(at least two balls in one box | on throw x) = 1 - P(no two balls in any box | first x-1 throws) = 1 - (b-1)/b^(x-1)
根据鸽巢原理,在第x+1次投掷时,至少有两个球会在同一个箱子中的概率仍然是1减去前x次投球中没有任何一个箱子中有两个球的概率,即:
P(at least two balls in one box | on throw x+1) = 1 - P(no two balls in any box | first x throws) = 1 - (b-1)/b^x
因此,在第x+1次投掷时,至少有两个球会在同一个箱子中的概率与第x次投掷时相同。这意味着我们可以用第x+1次投掷时的概率来计算期望值。
期望值E(x)等于第x+1次投掷时至少有两个球会在同一个箱子中的概率乘以x+1:
E(x) = P(at least two balls in one box | on throw x+1) × (x+1) = 1 - (b-1)/b^x × (x+1)
我们可以使用微积分来求解这个期望值的极限值。极限值可以通过将x趋于无穷大来得到:
limit(E(x)) as x approaches infinity = 1/b + 1/(b-1)
因此,期望的投球次数是1/b + 1/(b-1)。
讯飞星火:
我们可以使用几何概率的方法来解决这个问题。假设每个箱子有相同的概率被投掷到,即p。那么,投入一个球到某个箱子的概率是1/b,因为有b个箱子。
现在,我们需要找到投入两个球到同一个箱子的概率。这意味着在前一次投掷中,另一个球没有落入这个箱子。因此,前一次投掷的概率是1-1/b,而后一次投掷的概率仍然是1/b。所以,投入两个球到同一个箱子的概率是:
P(2个球在同一箱子) = (1 - 1/b) * (1/b) = 1 - 1/b^2
由于每次投掷都是独立的,我们可以将这个问题转化为求和问题:
E(投球次数) = Σ[n * (1 - 1/b^2)] + C(n+1, 2) * (1/b^2)
其中n表示投掷次数,C(n+1, 2)表示从n+1个球中选择2个球的组合数。
为了计算E(投球次数),我们需要找到使上式成立的b值。注意到当b=1时,这个等式成立:
E(投球次数) = Σ[n * (1 - 1/b^2)] + C(n+1, 2) * (1/b^2) = n * (n + 1) / 2 + (n + 1) / b^2
当b > 1时,我们可以通过数值方法求解这个等式。经过计算,我们得到:
E(投球次数)≈ 6.389
因此,投球次数的期望大约是6.389次。
华为盘古:
设投球次数为N(表示总投球次数),那么当球投入到b个箱子里时,每个箱子都分配了一份球。因此,我们有:
N = b * 1 / 2
现在我们有两个球,因此:
N = 2 * 1 / 2
因此,总投球次数的期望为:
N = 2 * 1 / 2 = 4.5。
因此,当球投入到b个箱子里时,总投球次数的期望为4.5。
360智脑:
设投球的次数为n次,则每次投球的期望值是1/2。因为每次投掷都独立且相等概率地发生,所以n次投掷的期望也是1/2n=1/2(n+1)。因此,投球次数的期望是(n+1)/2。
chatglm:
这是一个经典的概率问题,可以使用期望值的公式来计算投球次数的期望。
设投球次数为 x,每个球落入任何箱子的概率都为 1/b,则 x 的期望值为:
E(x) = Σ[i=1 to x] (1/b) * P(x=i)
其中,P(x=i) 表示在 x 次投掷中,投中 i 个箱子的概率。
由于每次投掷的结果是独立的,因此前一次投中某个箱子不会影响下一次投掷的结果。因此,P(x=i) 可以表示为:
P(x=i) = (b-i)/(b*b)
将 P(x=i) 代入期望值公式中,得到:
E(x) = Σ[i=1 to x] (1/b) * (b-i)/(b*b)
= Σ[i=0 to x] (1/b) * (b-i)
= b*Σ[i=0 to x] (1/b) - x*Σ[i=0 to x] (1/b)^2
其中,Σ[i=0 to x] 表示求和符号,表示从 0 到 x 的所有整数。
由于题目要求直到某个箱子中有两个球为止,因此 x 的取值范围是 0 到 b。对于每个 x,都有 i=0 的情况,因此要扣除这个次数。
期望的计算公式中的分母 b*b 表示所有箱子的数量之和,即 b(b-1)/2。因此,上述公式可以简化为:
E(x) = bΣ[i=0 to x] (1/b) - xΣ[i=0 to x] (1/b)^2
= b*(1-(1/b)^x) - x*(1/b)^2
最终,投球次数期望为:
E(x) = b*(1-(1/b)^x) - x*(1/b)^2
其中,b 为箱子的数量,x 为投球次数。
chatgpt:
这个问题可以用“生日悖论”或“抽屉原理”来解决。根据生日悖论,当投掷的次数超过23次时,存在两个球落入同一箱子的概率大于0.5;当投掷的次数超过32次时,存在两个球落入同一箱子的概率大于0.75。因此,根据期望的定义,可以估算出投球次数的期望值,如下所示:
- 当箱子数量为b时,第一次投掷必须是一个新的球落入一个空箱子中,概率为b/b=1。第二个球必须落在新的箱子里,概率为(b-1)/b。第三个球有2个选择:要么落在前两个球所在的箱子,概率为2/b,要么落在另一个空箱子里,概率为(b-2)/b。以此类推,第i个球有i-1个选择。因此,投球次数的期望可以表示为:
E = 1×(b/b) + 2×((b-1)/b) + 3×((2/b)×((b-1)/b) + (b-2)/b) + ... + (i-1)×(i-2)×...×2×((b-1)/b)×(1/b)
简化上述式子,可以得到:
E = b×(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(b-1))
当b趋近于正无穷时,可以使用自然对数e的级数展开式计算上式右侧的和,得到:
E ≈ b×ln(b)
因此,当箱子数量为b时,投球次数的期望值约为b×ln(b)次。