理解回溯算法——从全排列问题开始

一、简介

回溯法（backtracking）是优先搜索的一种特殊情况，又称为试探法，常用于需要记录节点状
态的深度优先搜索。通常来说，排列、组合、选择类问题使用回溯法比较方便。

二、从全排列问题开始理解回溯算法
以数组 [1, 2, 3] 的全排列为例。

先写以 1开头的全排列，它们是：[1, 2, 3], [1, 3, 2]，即 1 + [2, 3] 的全排列（注意：递归结构体现在这里）；
再写以 2 开头的全排列，它们是：[2, 1, 3], [2, 3, 1]，即 2 + [1, 3] 的全排列；
最后写以 3 开头的全排列，它们是：[3, 1, 2], [3, 2, 1]，即 3 + [1, 2] 的全排列。
总结搜索的方法：按顺序枚举每一位可能出现的情况，已经选择的数字在 当前 要选择的数字中不能出现。按照这种策略搜索就能够做到 不重不漏。这样的思路，可以用一个树形结构表示。

看到这里的朋友，建议先尝试自己画出「全排列」问题的树形结构。

说明：

1、每一个结点表示了求解全排列问题的不同的阶段，这些阶段通过变量的「不同的值」体现，这些变量的不同的值，称之为「状态」；
2、使用深度优先遍历有「回头」的过程，在「回头」以后， 状态变量需要设置成为和先前一样 ，因此在回到上一层结点的过程中，需要撤销上一次的选择，这个操作称之为「状态重置」；
3、深度优先遍历，借助系统栈空间，保存所需要的状态变量，在编码中只需要注意遍历到相应的结点的时候，状态变量的值是正确的，具体的做法是：往下走一层的时候，path 变量在尾部追加，而往回走的时候，需要撤销上一次的选择，也是在尾部操作，因此 path 变量是一个栈；
4、深度优先遍历通过「回溯」操作，实现了全局使用一份状态变量的效果。
使用编程的方法得到全排列，就是在这样的一个树形结构中完成 遍历，从树的根结点到叶子结点形成的路径就是其中一个全排列。

三、题解

46. 全排列

 1 class Solution:
 2     def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
 3         def dfs(nums, size, depth, path, used, res):
 4             if depth == size:
 5                 res.append(path[:])  # 注意append方法是浅拷贝，如果用res.append(path)是不行的，最后输出的都是[]
 6                 return
 7 
 8             # 在非叶子结点处，产生不同的分支，这一操作的语义是：在还未选择的数中依次选择一个元素作为下一个位置的元素，这显然得通过一个循环实现。
 9             for i in range(size):
10                 if not used[i]:
11                     used[i] = True
12                     path.append(nums[i])
13 
14                     dfs(nums, size, depth + 1, path, used, res)
15 
16                     # 注意：下面这两行代码发生 「回溯」（需要做「状态重置」，即「回到过去」）
17                     # 回溯发生在从 深层结点 回到 浅层结点 的过程，代码在形式上和递归之前是对称的
18                     used[i] = False
19                     path.pop()
20 
21         size = len(nums)
22         if len(nums) == 0:
23             return []
24 
25         used = [False for _ in range(size)]
26         res = []
27         dfs(nums, size, 0, [], used, res)
28         return res