第十三届蓝桥杯国赛 C++ B 组 J 题——搬砖（AC）

目录

• ​​1.搬砖​​

• ​​1.题目描述​​
• ​​2.输入格式​​
• ​​3.输出格式​​
• ​​4.样例输入​​
• ​​5.样例输出​​
• ​​6.数据范围​​

• ​​7.原题链接​​
• ​​2.解题思路​​
• ​​3.Ac_code​​

1.搬砖

1.题目描述

这天，小明在搬砖。

他一共有 块砖, 他发现第 砖的重量为 , 价值为

他想知道这样堆成的塔的总价值（即塔中所有砖块的价值和）最大是多少。

2.输入格式

输入共 行, 第一行为一个正整数 , 表示砖块的数量。后面 行, 每行两个正整数
分别表示每块砖的重量和价值。

3.输出格式

一行, 一个整数表示答案。

4.样例输入

5
4 4
1 1
5 2
5 5
4 3

5.样例输出

10

6.数据范围

7.原题链接

​​搬砖​​

2.解题思路

诸如此题的模型，思路都是按照一种方式排序，使得最优解答案的选择情况，是排序后的一个子序列，然后直接进行背包

那么该如何去寻找排序的条件呢？一般的思路在于，对于砖块 和 ，如果排序后的结果 在 的后面，那么对于任意 在 之上的摆放情况，都一定可以将两者调换。

如图，红色砖块为 上所有砖块的重量，我们设为 ，绿色为 与 之间的砖块重量，我们设为 。

根据题意可知：，​​​1​​​ 假设排序后 在 的后面，那么也一定满足：​​2​​

因为​​​1​​​且一定大于 ，显然是一定符合要求的。

然后考虑第二个式子，因为 ​​​1​​​，经过变形可得 ​​​3​​​ 将式子​​3​​带入式子​​2​​可得:

将式子整理可得:

由此，我们找到了排序条件，也就是说，当满足 时，任意 在

接下来就是进行背包 即可，
定义 为只考虑前 个物品，且选择的重量为

题目体积最大只有​​2e4​​​，答案即为从到 取个最大值。由于是​​​01​​背包问题，可以使用滚动数组进行优化。

时间复杂度:

3.Ac_code

未优化版本：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int, int> PII;
#define pb(s) push_back(s);
#define SZ(s) ((int)s.size());
#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))
#define all(s) s.begin(),s.end()
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
const int N = 1010;


int n;
//只考虑前 i 个砖块，且重量为 j 的最大价值
int f[N][N * 20];
PII a[N];
bool cmp(PII b, PII c) {
    return b.first + b.second < c.first + c.second;
}
void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i].first >> a[i].second;
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int w = a[i].first, v = a[i].second;
        for (int j = 0; j <= 20000; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            //可选情况
            if (w <= j && v >= j - w) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w] + v);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=20000;++i) ans=max(ans,f[n][i]);
    cout << ans << '\n';
}
int main()
{
    ios_base :: sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int t = 1;
    while (t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

滚动数组优化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int, int> PII;
#define pb(s) push_back(s);
#define SZ(s) ((int)s.size());
#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))
#define all(s) s.begin(),s.end()
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
const int N = 1010;


int n;
//只考虑前 i 个砖块，且重量为 j 的最大价值
int f[N * 20];
PII a[N];
bool cmp(PII b, PII c) {
    return b.first + b.second < c.first + c.second;
}
void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i].first >> a[i].second;
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int w = a[i].first, v = a[i].second;
        for (int j = 20000; j >= w; --j) {
            //可选情况
            if ( v >= j - w) f[j] = max(f[j], f[j - w] + v);
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 20000; ++i) ans = max(ans, f[i]);
    cout << ans << '\n';
}
int main()
{
    ios_base :: sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int t = 1;
    while (t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}