整数二分
本质
如果有单调性的话 --> 我可以二分，反之不然
整个区间可以一分为二，我们定义了一个性质，右半边是满足这个性质的，但是左半边不满足
二分可以寻找这个性质的边界
-
如何二分左半部分的边界点：
-
mid = l + r +1>> 1
-
if(check(mid)) -> true:答案处于 [mid,r] -> 更新区间 l = mid else 答案处于 [l,mid-1] -> 更新区间 r = mid -1;
-
如何二分右半部分的边界点
-
mid = 1+r >> 1
-
if(check(mid)) -> true:答案处于 [l,mid] -> 更新区间 r = mid else 答案处于 [mid+1,r] -> 更新区间 l = mid+1;
模板
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
练习
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回
-1 -1。输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回
-1 -1。数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000输入样例：
6 3 1 2 2 3 3 4 3 4 5输出样例：
3 4 5 5 -1 -1
该题的 check：
- 寻找 x 的起始点 --> 找到一个区间使得区间里所有的数 >= x
- 如果 q[mid] >= x ，答案一定在 mid 的左边，且不包括 mid，所有更新区间为 r = mid 套用第一个模板
- 寻找 x 的结束点 --> 找到一个区间使得区间里的所有数 <= x
- 如果 q[mid] <= x ，答案一定在 mid 的右边，且mid 有可能是答案，所以更新区间为 l = mid 套用第二个模板，修改 mid = l+r+1>>1
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int m;
int q[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 0;i < n;i++)
{
scanf("%d",&q[i]);
}
while(m--)
{
int x;
scanf("%d",&x);
int l = 0,r= n-1;
while(l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if(q[mid] >= x)
{
r = mid;
}else{
l = mid + 1;
}
}
if(q[l]!=x)
{
cout << "-1 -1" << endl;
}else{
printf("%d ",l);
int l = 0,r= n-1;
while(l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(q[mid] <= x)
{
l = mid;
}else{
r = mid - 1;
}
}
printf("%d\n",l);
}
}
return 0;
}
浮点数二分
原理
当我们的范围足够小的时候，我们就可以认为我们找到了答案
例如 r - l <= 10-6 ，我们认为他已经足够小，因为有整除，所以不需要处理边界问题
练习
给定一个浮点数 n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00输出样例：
10.000000
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
double x;
cin >> x;
double l = -100,r = 100;
while(r-l>1e-8)
{
double mid = (l+r)/2;
if(mid*mid*mid>=x)
{
r = mid;
}else{
l = mid;
}
}
printf("%.6lf",l);
return 0;
}