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1. 什么是k近邻算法？
k最近邻(k-Nearest Neighbor，kNN)分类算法是一个比较成熟也是最简单的机器学习(Machine Learning)算法之一。该方法的思路是：如果一个样本在特征空间中与k个实例最为相似(即特征空间中最邻近)，那么这k个实例中大多数属于哪个类别，则该样本也属于这个类别。
其中，计算样本与其他实例的相似性一般采用距离衡量法。离得越近越相似，离得越远越不相似。
如上图所示，k=3，距离绿色样本最近的3个实例中（圆圈内），有两个是红色三角形（正类）、一个是蓝色正方形（负类）。则该样本属于红色三角形（正类）。
2. k近邻算法的本质
我们知道,一般机器学习算法包括两个过程：训练过程和测试过程。训练过程通过使用机器学习算法在训练样本上迭代训练，得到较好的机器学习模型；测试过程是使用测试数据来验证模型的好坏，通过正确率来呈现。kNN算法的本质是在训练过程中，它将所有训练样本的输入和输出标签(label)都存储起来。测试过程中，计算测试样本与每个训练样本的距离，选取与测试样本距离最近的前k个训练样本。然后对着k个训练样本的label进行投票，票数最多的那一类别即为测试样本所归类。
其实，kNN算法非常简单，可以说在训练过程中基本没有算法参与，只有存储训练样本。可以说KNN算法实际上是一种识记类算法。因此，kNN虽然简单，但是其明显包含了以下几个缺点：
- 整个训练过程需要将所有的训练样本极其输出label存储起来，因此，空间成本很大。
- 测试过程中，每个测试样本都需要与所有的训练样本进行比较，运行时间成本很大。
- 采用距离比较的方式，分类准确率不高。
好了，介绍完了kNN算法的理论知识之后，我相信大家都跃跃欲试了。接下来，我们就来手把手教大家使用Python实现一个kNN分类问题，进入机器学习实战大门。开始吧～
3. 数据准备
首先，数据集我们选择经典的鸢尾花卉数据集（Iris）。Iris数据集每个样本x包含了花萼长度（sepal length）、花萼宽度（sepal width）、花瓣长度（petal length）、花瓣宽度（petal width）四个特征。样本标签y共有三类，分别是Setosa，Versicolor和Virginica。Iris数据集总共包含150个样本，每个类别由50个样本，整体构成一个150行5列的二维表，如下图展示了10个样本：
如何获取这些数据呢？很简单，我们可以使用代码，直接从网上下载，下载后的数据集存放在’../data/’目录下。
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data', header=None) # 下载iris数据集
#data = pd.read_csv('./data/iris.data.csv', header=None)
data.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'species'] # 特征及类别名称
然后，我们将三个类别的数据分别提取出来，setosa、versicolor、virginica分别用0、1、2来表示。
X = data.iloc[0:150, 0:4].values
y = data.iloc[0:150, 4].values
y[y == 'Iris-setosa'] = 0 # Iris-setosa 输出label用0表示
y[y == 'Iris-versicolor'] = 1 # Iris-versicolor 输出label用1表示
y[y == 'Iris-virginica'] = 2 # Iris-virginica 输出label用2表示
X_setosa, y_setosa = X[0:50], y[0:50] # Iris-setosa 4个特征
X_versicolor, y_versicolor = X[50:100], y[50:100] # Iris-versicolor 4个特征
X_virginica, y_virginica = X[100:150], y[100:150] # Iris-virginica 4个特征
接下来看一下三种类别不同特征的空间分布。为了可视性，我们只选择sepal length和petal length两个特征，在二维平面上作图。
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(X_setosa[:, 0], X_setosa[:, 2], color='red', marker='o', label='setosa')
plt.scatter(X_versicolor[:, 0], X_versicolor[:, 2], color='blue', marker='^', label='versicolor')
plt.scatter(X_virginica[:, 0], X_virginica[:, 2], color='green', marker='s', label='virginica')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('petal length')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.show()
由上图可见，三个类别之间是有较明显区别的。
接下来，我们要将每个类别的所有样本分成训练样本（training set）、验证集(validation set)和测试样本（test set），各占所有样本的比例分别为60%，20%，20%。
# training set
X_setosa_train = X_setosa[:30, :]
y_setosa_train = y_setosa[:30]
X_versicolor_train = X_versicolor[:30, :]
y_versicolor_train = y_versicolor[:30]
X_virginica_train = X_virginica[:30, :]
y_virginica_train = y_virginica[:30]
X_train = np.vstack([X_setosa_train, X_versicolor_train, X_virginica_train])
y_train = np.hstack([y_setosa_train, y_versicolor_train, y_virginica_train])
# validation set
X_setosa_val = X_setosa[30:40, :]
y_setosa_val = y_setosa[30:40]
X_versicolor_val = X_versicolor[30:40, :]
y_versicolor_val = y_versicolor[30:40]
X_virginica_val = X_virginica[30:40, :]
y_virginica_val = y_virginica[30:40]
X_val = np.vstack([X_setosa_val, X_versicolor_val, X_virginica_val])
y_val = np.hstack([y_setosa_val, y_versicolor_val, y_virginica_val])
# test set
X_setosa_test = X_setosa[40:50, :]
y_setosa_test = y_setosa[40:50]
X_versicolor_test = X_versicolor[40:50, :]
y_versicolor_test = y_versicolor[40:50]
X_virginica_test = X_virginica[40:50, :]
y_virginica_test = y_virginica[40:50]
X_test = np.vstack([X_setosa_test, X_versicolor_test, X_virginica_test])
y_test = np.hstack([y_setosa_test, y_versicolor_test, y_virginica_test])
4. kNN训练函数和预测函数
kNN的训练过程实际上是一种数据标类、数据存储的过程，不包含机器学习算法。首先我们需要定义一个类（class）来实现KNN算法模块。该类的初始化定义为：
class KNearestNeighbor(object):
def __init__(self):
pass
然后，在KNearestNeighbor类中定义训练函数，训练函数保存所有训练样本。
def train(self, X, y):
self.X_train = X
self.y_train = y
kNN的测试过程是核心部分。其中，有两点需要注意：
- 衡量距离的方式
- k值的选择
kNN距离衡量一般有两种方式：L1距离和L2距离。
L1距离的计算公式为：
d1(I1,I2)=∑p|Ip1−Ip2| d 1 ( I 1 , I 2 ) = ∑ p | I 1 p − I 2 p |
其中，I1和I2分别表示两个样本，p表示特征维度。
L2距离的计算公式为：
d2(I1,I2)=∑p(Ip1−Ip2)2−−−−−−−−−−−√ d 2 ( I 1 , I 2 ) = ∑ p ( I 1 p − I 2 p ) 2
一般来说，L1距离和L2距离都比较常用。需要注意的是，如果两个样本距离越大，那么使用L2会继续扩大距离，即对距离大的情况惩罚性越大。反过来说，如果两个样本距离较小，那么使用L2会缩小距离，减小惩罚。也就是说，如果想要放大两个样本之间的不同，使用L2距离会更好一些。这里，我们使用最常用的L2距离。
kNN中的k值选择至关重要，不同的k值也许能归属到不同的类别中，例如在下图中，k=3，则判定绿色实例属于红色三角形类别。
但是，如果令k=5，如下图所示，则会判定绿色实例属于蓝色正方形类别。
一般来说，k值太小会使模型过于复杂，造成过拟合（overfitting）；k值太大会使模型分类模糊，造成欠拟合(underfitting)。实际应用中，我们可以选择不同的k值，通过验证来决定K值大小。代码中，我们将k设定为可调参数。
在KNearestNeighbor类中定义预测函数：
def predict(self, X, k=1)
# 计算L2距离
num_test = X.shape[0]
num_train = self.X_train.shape[0]
dists = np.zeros((num_test, num_train)) # 初始化距离函数
# because(X - X_train)*(X - X_train) = -2X*X_train + X*X + X_train*X_train, so
d1 = -2 * np.dot(X, self.X_train.T) # shape (num_test, num_train)
d2 = np.sum(np.square(X), axis=1, keepdims=True) # shape (num_test, 1)
d3 = np.sum(np.square(self.X_train), axis=1) # shape (1, num_train)
dist = np.sqrt(d1 + d2 + d3)
# 根据K值，选择最可能属于的类别
y_pred = np.zeros(num_test)
for i in range(num_test):
dist_k_min = np.argsort(dist[i])[:k] # 最近邻k个实例位置
y_kclose = self.y_train[dist_k_min] # 最近邻k个实例对应的标签
y_pred[i] = np.argmax(np.bincount(y_kclose)) # 找出k个标签中从属类别最多的作为预测类别
return y_pred
KNearestNeighbor类的完整定义代码如下：
class KNearestNeighbor(object):
def __init__(self):
pass
# 训练函数
def train(self, X, y):
self.X_train = X
self.y_train = y
# 预测函数
def predict(self, X, k=1):
# 计算L2距离
num_test = X.shape[0]
num_train = self.X_train.shape[0]
dists = np.zeros((num_test, num_train)) # 初始化距离函数
# because(X - X_train)*(X - X_train) = -2X*X_train + X*X + X_train*X_train, so
d1 = -2 * np.dot(X, self.X_train.T) # shape (num_test, num_train)
d2 = np.sum(np.square(X), axis=1, keepdims=True) # shape (num_test, 1)
d3 = np.sum(np.square(self.X_train), axis=1) # shape (1, num_train)
dist = np.sqrt(d1 + d2 + d3)
# 根据K值，选择最可能属于的类别
y_pred = np.zeros(num_test)
for i in range(num_test):
dist_k_min = np.argsort(dist[i])[:k] # 最近邻k个实例位置
y_kclose = self.y_train[dist_k_min] # 最近邻k个实例对应的标签
y_pred[i] = np.argmax(np.bincount(y_kclose.tolist())) # 找出k个标签中从属类别最多的作为预测类别
return y_pred
5. 训练和预测
首先，创建一个KnearestNeighbor实例对象。
然后，在验证集上进行k-fold交叉验证。选择不同的k值，根据验证结果，选择最佳的k值。
可见，k值取3的时候，验证集的准确率最高。此例中，由于总体样本数据量不够多，所以验证结果并不明显。但是使用k-fold交叉验证来选择最佳k值是最常用的方法之一。
选择完合适的k值之后，就可以对测试集进行预测分析了。
KNN.train(X_train, y_train)
y_pred = KNN.predict(X_test, k=6)
accuracy = np.mean(y_pred == y_test)
print('测试集预测准确率：%f' % accuracy)
测试集预测准确率：1.000000
最终结果显示，测试集预测准确率为100%。
最后，我们把预测结果绘图表示。仍然只选择sepal length和petal length两个特征，在二维平面上作图。
# 训练集
plt.scatter(X_setosa_train[:, 0], X_setosa_train[:, 2], color='red', marker='o', label='setosa_train')
plt.scatter(X_versicolor_train[:, 0], X_versicolor_train[:, 2], color='blue', marker='^', label='versicolor_train')
plt.scatter(X_virginica_train[:, 0], X_virginica_train[:, 2], color='green', marker='s', label='virginica_train')
# 测试集
plt.scatter(X_setosa_test[:, 0], X_setosa_test[:, 2], color='y', marker='o', label='setosa_test')
plt.scatter(X_versicolor_test[:, 0], X_versicolor_test[:, 2], color='y', marker='^', label='versicolor_test')
plt.scatter(X_virginica_test[:, 0], X_virginica_test[:, 2], color='y', marker='s', label='virginica_test')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('petal length')
plt.legend(loc = 4)
plt.show()
6. k近邻算法总结
k近邻算法是一种最简单最直观的分类算法。它的训练过程保留了所有样本的所有特征，把所有信息都记下来，没有经过处理和提取。而其它机器学习算法包括神经网络则是在训练过程中提取最重要、最有代表性的特征。在这一点上，kNN算法还非常不够“智能”。但是，kNN算法作为机器学习的基础算法，还是值得我们了解一下的。
